Trzecim wyrazem ciągu geometrycznego jest liczba \(3\), a szóstym jest liczba \(-24\). Suma czterech początkowych wyrazów tego ciągu wynosi:

A \(11\frac{1}{4}\)
B \(3\frac{3}{4}\)
C \(-3\frac{3}{4}\)
D \(-11\frac{1}{4}\)

Odpowiedź:      

C

Rozwiązanie:      
Krok 1. Obliczenie ilorazu ciągu geometrycznego. Do zadania można podejść na kilka sposobów, ale najprościej będzie skorzystać z własności ciągów geometrycznych. Powinniśmy dostrzec, że \(a_{3}\cdot q\cdot q\cdot q=a_{6}\), czyli że \(a_{3}\cdot q^3=a_{6}\). Podstawiając teraz informacje z treści zadania, otrzymamy: $$a_{3}\cdot q^3=a_{6} \           ,\ 3\cdot q^3=-24 \           ,\ q^3=-8 \           ,\ q=-2$$ Krok 2. Obliczenie wartości pierwszego wyrazu. Znając wartość trzeciego wyrazu oraz iloraz ciągu możemy obliczyć wartość pierwszego wyrazu. $$a_{3}=a_{1}\cdot q^2 \           ,\ 3=a_{1}\cdot(-2)^2 \           ,\ 3=a_{1}\cdot4 \           ,\ a_{1}=\frac{3}{4}$$ Krok 3. Obliczenie sumy czterech pierwszych wyrazów. Kiedy znamy już wartość pierwszego wyrazu i ilorazu ciągu, możemy bez problemu obliczyć sumę czterech pierwszych wyrazów ciągu, korzystając z następującego wzoru na sumę \(n\) początkowych wyrazów: $$S_{n}=a_{1}\cdot\frac{1-q^n}{1-q} \           ,\ S_{4}=\frac{3}{4}\cdot\frac{1-(-2)^{4}}{1-(-2)} \           ,\ S_{4}=\frac{3}{4}\cdot\frac{1-16}{3} \           ,\ S_{4}=\frac{3}{4}\cdot\frac{-15}{3} \           ,\ S_{4}=\frac{3}{4}\cdot(-5) \           ,\ S_{4}=\frac{-15}{4}=-3\frac{3}{4}$$

Teoria:      
W trakcie opracowania