Jeżeli sinus kąta ostrego \(\alpha\) wynosi \(\frac{2\sqrt{3}}{5}\), to wartość tangensa kąta ostrego \(\alpha\) jest równa:

A \(\frac{2\sqrt{39}}{13}\)
B \(\frac{\sqrt{13}}{5}\)
C \(\frac{\sqrt{39}}{6}\)
D \(\frac{5\sqrt{13}}{13}\)

Odpowiedź:      

A

Rozwiązanie:      
Krok 1. Obliczenie wartości cosinusa. Korzystając z jedynki trygonometrycznej możemy zapisać, że: $$sin^2α+cos^2α=1 \           ,\ \left(\frac{2\sqrt{3}}{5}\right)^2+cos^2α=1 \           ,\ \frac{4\cdot3}{25}+cos^2α=1 \           ,\ \frac{12}{25}+cos^2α=1 \           ,\ cos^2α=\frac{13}{25} \           ,\ cosα=\sqrt{\frac{13}{25}} \quad\lor\quad cosα=-\sqrt{\frac{13}{25}}$$ Wartość ujemną odrzucamy, bo cosinus dla kątów ostrych przyjmuje wartości dodatnie, zatem zostaje nam \(cosα=\sqrt{\frac{13}{25}}\), co możemy jeszcze zapisać jako \(cosα=\frac{\sqrt{13}}{5}\) . Krok 2. Obliczenie wartości tangensa. Wiedząc, że \(tgα=\frac{sinα}{cosα}\) możemy zapisać, że: $$tgα=\frac{\frac{2\sqrt{3}}{5}}{\frac{\sqrt{13}}{5}} \           ,\ tgα=\frac{2\sqrt{3}}{5}:\frac{\sqrt{13}}{5} \           ,\ tgα=\frac{2\sqrt{3}}{5}\cdot\frac{5}{\sqrt{13}} \           ,\ tgα=\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{13}} \           ,\ tgα=\frac{2\sqrt{3}\cdot\sqrt{13}}{\sqrt{13}\cdot\sqrt{13}} \           ,\ tgα=\frac{2\sqrt{39}}{13}$$

Teoria:      
W trakcie opracowania