Wspólnym pierwiastkiem równania \(3x(x+\frac{2}{3})(2x-5)=0\) oraz równania \(\frac{2x-5}{3x+2}=0\) jest liczba:

A \(\frac{2}{3}\)
B \(-\frac{2}{3}\)
C \(2,5\)
D \(-2,5\)

Odpowiedź:      

C

Rozwiązanie:      
Krok 1. Rozwiązanie pierwszego równania. Na początek rozwiążmy pierwsze równanie. Traktujemy je tak samo jak równanie w postaci iloczynowej, czyli przyrównujemy odpowiednie wartości do zera: $$3x=0 \quad\lor\quad x+\frac{2}{3}=0 \quad\lor\quad 2x-5=0 \           ,\ x=0 \quad\lor\quad x=-\frac{2}{3} \quad\lor\quad 2x=5 \           ,\ x=0 \quad\lor\quad x=-\frac{2}{3} \quad\lor\quad x=2,5$$ Krok 2. Rozwiązanie drugiego równania. Jest to przykład równania wymiernego w którym niewiadoma \(x\) pojawia się w mianowniku ułamka, zatem zanim zaczniemy liczyć, musimy zapisać założenia. Z racji tego, iż na matematyce nie istnieje dzielenie przez zero, to mianownik musi być różny od zera, więc: $$3x+2\neq0 \           ,\ 3x\neq-2 \           ,\ x\neq-\frac{2}{3}$$ Dopiero teraz możemy przystąpić do obliczeń, a zaczniemy standardowo od wymnożenia obydwu stron przez wartość z mianownika: $$\frac{2x-5}{3x+2}=0 \quad\bigg/\cdot(3x+2) \           ,\ 2x-5=0 \           ,\ 2x=5 \           ,\ x=2,5$$ Otrzymane rozwiązanie nie wyklucza się z założeniami, więc możemy uznać, że rozwiązaniem tego równania jest \(x=2,5\). Krok 3. Ustalenie wspólnych rozwiązań. Wspólny pierwiastek to tak naprawdę wspólne rozwiązanie jednego i drugiego równania. Widzimy, że takim rozwiązaniem jest jedynie \(x=2,5\) i to będzie poszukiwana przez nas odpowiedź.

Teoria:      
W trakcie opracowania