Kąt \(α\) jest ostry i \(tgα=\frac{12}{5}\). Wówczas \(\sinα\) jest równy:

A \(\frac{5}{17}\)
B \(\frac{12}{17}\)
C \(\frac{5}{13}\)
D \(\frac{12}{13}\)

Odpowiedź:      

D

Rozwiązanie:      
Krok 1. Rozpisanie tangensa jako ilorazu sinusa i cosinusa. Z trygonometrii wiemy, że \(tgα=\frac{sinα}{cosα}\). Korzystając z tej własności możemy zapisać, że: $$tgα=\frac{12}{5} \           ,\ \frac{sinα}{cosα}=\frac{12}{5}$$ Mnożąc to na krzyż otrzymamy: $$5sinα=12cosα$$ Krok 2. Obliczenie wartości cosinusa. Z jedynki trygonometrycznej wynika, że \(sin^2α+cos^2α=1\). W poprzednim kroku udało nam się zapisać, że \(5sinα=12cosα\), czyli że \(cosα=\frac{5}{12}sinα\). W związku z tym: $$sin^2α+\left(\frac{5}{12}sinα\right)^2+=1 \           ,\ sin^2α+\frac{25}{144}sin^2α=1 \           ,\ \frac{169}{144}sin^2α=1 \quad\bigg/\cdot\frac{144}{169} \           ,\ sin^2α=\frac{144}{169} \           ,\ sinα=\frac{12}{13} \quad\lor\quad sinα=-\frac{12}{13}$$ Ujemne rozwiązanie odrzucamy, bo kąt \(α\) jest ostry, a dla kątów ostrych sinus przyjmuje wartości dodatnie, zatem zostaje nam \(sinα=\frac{12}{13}\).

Teoria:      
W trakcie opracowania