Rozwiązaniem układu równań \(\begin{cases} x+y=1 \\ x-y=b \end{cases}\) z niewiadomymi \(x\) i \(y\) jest para liczb dodatnich. Wynika stąd, że:

A \(b\lt-1\)
B \(b=-1\)
C \(-1\lt b\lt1\)
D \(b\ge1\)

Odpowiedź:      

C

Rozwiązanie:      
Spróbujmy wyznaczyć wartości \(x\) oraz \(y\) z tego układu równań. Jeżeli dodamy te równania stronami to otrzymamy: $$2x+0y=1+b \           ,\ 2x=1+b \           ,\ x=\frac{1+b}{2}$$ Kiedy odejmiemy te równania stronami to otrzymamy: $$0x+2y=1-b \           ,\ 2y=1-b \           ,\ y=\frac{1-b}{2}$$ Teraz zgodnie z treścią zadania wiemy, że \(x\) oraz \(y\) są dodatnie, zatem: $$\frac{1+b}{2}\gt0 \land \frac{1-b}{2}\gt0 \           ,\ 1+b\gt0 \quad\land\quad 1-b\gt0 \           ,\ b\gt-1 \quad\land\quad b\lt1$$ To oznacza, że \(-1\lt b\lt1\).

Teoria:      
W trakcie opracowania