Ciąg arytmetyczny \((a_{n})\) jest określony wzorem \(a_{n}=2n-1\) dla \(n\ge1\). Suma stu początkowych kolejnych wyrazów tego ciągu jest równa:

A \(9900\)
B \(9950\)
C \(10000\)
D \(10050\)

Odpowiedź:      

C

Rozwiązanie:      
Krok 1. Obliczenie wartości pierwszego wyrazu. Do obliczenia sumy stu początkowych wyrazów skorzystamy ze wzoru: $$S_{n}=\frac{2a_{1}+(n-1)r}{2}\cdot n$$ Widzimy wyraźnie, że brakuje nam tutaj znajomości wartości pierwszego wyrazu \(a_{1}\) oraz różnicy ciągu \(r\). Zacznijmy od wyznaczenia \(a_{1}\). Aby wyznaczyć wartość pierwszego wyrazu musimy po prostu do wzoru ciągu podstawić \(n=1\). Otrzymamy wtedy: $$a_{n}=2n-1 \           ,\ a_{1}=2\cdot1-1 \           ,\ a_{1}=2-1 \           ,\ a_{1}=1$$ Krok 2. Obliczenie różnicy ciągu arytmetycznego. Różnicę ciągu możemy tak naprawdę odczytać wprost ze wzoru - jest to liczba znajdująca się przed \(n\), czyli w tym przypadku \(r=2\). Gdybyśmy o tej własności nie pamiętali, to wystarczy obliczyć wartość drugiego wyrazu i odjąć od niej wartość wyrazu pierwszego (którą już znamy). Zatem: $$a_{n}=2n-1 \           ,\ a_{2}=2\cdot2-1 \           ,\ a_{2}=4-1 \           ,\ a_{2}=3$$ W związku z tym: $$r=a_{2}-a_{1} \           ,\ r=3-1 \           ,\ r=2$$ Krok 3. Obliczenie sumy stu początkowych wyrazów ciągu. Teraz podstawiając do wzoru \(a_{1}=1\), \(r=2\) oraz \(n=100\) (bo mamy obliczyć sumę stu wyrazów) możemy zapisać, że: $$S_{n}=\frac{2a_{1}+(n-1)r}{2}\cdot n \           ,\ S_{100}=\frac{2\cdot1+(100-1)\cdot2}{2}\cdot100 \           ,\ S_{100}=\frac{2+99\cdot2}{2}\cdot100 \           ,\ S_{100}=\frac{2+198}{2}\cdot100 \           ,\ S_{100}=\frac{200}{2}\cdot100 \           ,\ S_{100}=100\cdot100 \           ,\ S_{100}=10000$$

Teoria:      
W trakcie opracowania