W ciągu arytmetycznym \((a_{n})\) dane są: \(a_{3}=13\) i \(a_{5}=39\). Wtedy wyraz \(a_{1}\) jest równy:

A \(13\)
B \(0\)
C \(-13\)
D \(-26\)

Odpowiedź:      

C

Rozwiązanie:      
To zadanie możemy rozwiązać tak naprawdę na dwa sposoby. I sposób (na logikę): W ciągu arytmetycznym każda kolejna liczba jest powiększona lub pomniejszona o tą samą wartość. W związku z tym różnica między piątym i trzecim wyrazem będzie taka sama jak między trzecim i pierwszym. Skoro: \(a_{5}-a_{3}=39-13=26\) To: \(a_{3}-a_{1}\) także będzie równe \(26\) W ten sposób powstaje nam równanie: $$a_{3}-a_{1}=26 \           ,\ 13-a_{1}=26 \           ,\ -a_{1}=13 \           ,\ a_{1}=-13$$ II sposób (bardziej uniwersalny): Za pomocą wzorów z tablic matematycznych możemy wyznaczyć \(r\), czyli różnicę ciągu arytmetycznego. $$a_{n}=a_{1}+(n-1)r$$ Korzystając z tego wzoru i podstawiając wartości \(a_{3}\) oraz \(a_{5}\) otrzymamy układ równań: \begin{cases} a_{3}=a_{1}+(3-1)r \           ,\ a_{5}=a_{1}+(5-1)r \end{cases}\begin{cases} 13=a_{1}+2r \quad\bigg/\cdot2 \           ,\ 39=a_{1}+4r \end{cases}\begin{cases} 26=2a_{1}+4r \           ,\ 39=a_{1}+4r \end{cases}\begin{cases} 26-2a_{1}=4r \           ,\ 39=a_{1}+4r \end{cases} Korzystamy z metody podstawiania, podstawiając za \(4r\) z pierwszego równania wartość \(26-2a_{1}\) i w ten sposób otrzymujemy: $$39=a_{1}+26-2a_{1} \           ,\ 13=-a_{1} \           ,\ a_{1}=-13$$

Teoria:      
W trakcie opracowania