Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Z własności rombów wiemy, że ma on dwie przekątne o różnej długości, które przecinają się w połowie swojej długości pod kątem prostym. Skoro tak, to zajdzie nam taka oto sytuacja:


Krok 2. Obliczenie długości drugiej przekątnej rombu.
Widzimy, że na rysunku utworzył nam się trójkąt prostokątny, zatem korzystając z twierdzenia Pitagorasa możemy zapisać, że:
$$15^2+x^2=17^2 \           ,\
225+x^2=289 \           ,\
x^2=64 \           ,\
x=8$$

Obliczona długość stanowi \(\frac{1}{2}\) długości drugiej przekątnej rombu, zatem cała przekątna ma długość \(2\cdot8=16\).

Krok 3. Obliczenie pola rombu.
Znamy już długości dwóch przekątnych, czyli \(e=30cm\) oraz \(f=16cm\). Pole rombu będzie więc równe:
$$P=\frac{1}{2}ef \           ,\
P=\frac{1}{2}\cdot30\cdot16 \           ,\
P=15\cdot16 \           ,\
P=240$$

Krok 1. Obliczenie liczby małych sześcianów o krawędzi \(1\).
Ustalmy najpierw ile powstało nam małych sześcianów o krawędzi \(1\). Najprościej będzie to dostrzec bazując na objętości brył. Sześcian o krawędzi \(1\) ma objętość \(V=1\cdot1\cdot1=1\). Sprawdźmy teraz jakie objętości mają dwa duże sześciany:

I sześcian ma objętość \(V=2\cdot2\cdot2=8\)
II sześcian ma objętość \(V=3\cdot3\cdot3=27\)

To oznacza, że ten pierwszy sześcian podzieli się na \(8\) małych sześcianów, a ten drugi na \(27\). Łącznie małych sześcianów będzie więc \(8+27=35\).

Krok 2. Ustalenie wymiarów prostopadłościanu.
Ustaliliśmy już, że mamy \(35\) małych sześcianów, co oznacza, że objętość naszej bryły jest równa \(35\). Objętość prostopadłościanu obliczamy ze wzoru \(V=abc\). Musimy teraz ustalić, jakie trzy liczby całkowite pomnożone przez siebie, dają wynik równy \(35\). Są tylko dwie możliwości: \(35\cdot1\cdot1\) oraz \(5\cdot7\cdot1\). Tą pierwszą sytuację musimy odrzucić, bo ona by oznaczała, że jedna ze ścian bocznych będzie kwadratem (a to jest wykluczone w treści zadania). Wniosek płynie z tego taki, że nasz prostopadłościan będzie mieć wymiary \(a=5, b=7\) oraz \(c=1\).

Krok 3. Obliczenie pola powierzchni prostopadłościanu.
Korzystając ze wzoru na pole powierzchni możemy zapisać, że:
$$P=2ab+2ac+2bc \           ,\
P=2\cdot5\cdot7+2\cdot5\cdot1+2\cdot7\cdot1 \           ,\
P=70+10+14 \           ,\
P=94$$

Krok 1. Wprowadzenie oznaczeń do treści zadania.
Przyjrzyjmy się ile pieniędzy otrzymał każdy z chłopców. Najprościej będzie przyjąć sobie, że Kamil dostał kwotę \(x\), co pozwoli nam to wszystko rozpisać w następujący sposób:
\(x\) - kwota, którą dostał Kamil
\(2\cdot x=2x\) - kwota, którą dostał Jędrek (bo dostał dwa razy więcej od Kamila)
\(2\cdot2x=4x\) - kwota, którą dostał Marcin (bo dostał dwa razy więcej od Jędrka)

Krok 2. Obliczenie łącznej puli nagród.
Korzystając z naszej rozpiski widzimy, ze cała pula nagród wyniosła:
$$x+2x+4x=7x$$

Krok 3. Zakończenie dowodzenia.
Wiemy, że Kamil dostał \(x\) z puli \(7x\), a więc dostał on \(\frac{x}{7x}=\frac{1}{7}\) tej kwoty i właśnie to należało udowodnić.

Krok 1. Obliczenie długości drogi \(B\).
Zacznijmy od obliczenia długości drogi \(B\) (czyli tej po ukosie). Z racji tego, iż na rysunku mamy trójkąt prostokątny, to możemy skorzystać z Twierdzenia Pitagorasa:
$$600^2+800^2=c^2 \           ,\
360000+640000=c^2 \           ,\
c^2=1000000 \           ,\
c=1000$$

Wyszło nam, że długość drogi \(B\) jest równa \(1000m\), czyli \(1km\). Zamiana metrów na kilometry jest bardzo ważna, ponieważ prędkość mamy wyrażoną w \(\frac{km}{h}\).

Krok 2. Obliczenie czasu pokonania drogi \(A\).
Droga \(A\) ma długość \(800m+600m=1400m=1,4km\). Wiemy, że Ula porusza się z prędkością \(4\frac{km}{h}\), zatem korzystając ze wzoru na prędkość \(v=\frac{s}{t}\) możemy zapisać, że:
$$v=\frac{s}{t} \           ,\
vt=s \           ,\
t=\frac{s}{v}$$

Podstawiając teraz dane \(s=1,4km\) oraz \(v=4\frac{km}{h}\), otrzymamy:
$$t=\frac{1,4km}{4\frac{km}{h}} \           ,\
t=0,35h$$

Krok 3. Obliczenie czasu pokonania drogi \(B\).
Analogicznie obliczymy czas pokonania drogi \(B\). Tutaj \(s=1km\) oraz \(v=4\frac{km}{h}\), zatem:
$$t=\frac{s}{v} \           ,\
t=\frac{1km}{4\frac{km}{h}} \           ,\
t=0,25h$$

Krok 4. Obliczenie różnicy czasu.
Skoro drogę \(A\) pokonujemy w czasie \(0,35h\), a drogę \(B\) w czasie \(0,25h\), to różnica czasu wyniesie:
$$0,35h-0,25h=0,1h$$

Proszą nas o podanie tego czasu w minutach, a skoro jedna godzina to \(60\) minut, to:
$$0,1\cdot60min.=6min.$$

To oznacza, że Ula idzie do szkoły drogą \(B\) o \(6\) minut krócej.

Krok 1. Wprowadzenie oznaczeń do treści zadania.
Z treści zadania wynika, że róż czerwonych jest \(3\) razy więcej niż białych, zatem możemy zapisać, że:
\(x\) - liczba róż białych
\(3x\) - liczba róż czerwonych

To oznacza, że w takim razie róż białych i czerwonych jest łącznie:
$$x+3x=4x$$

Krok 2. Zapisanie liczby róż, po zakupie Pana Nowaka.
Pan Nowak kupił \(40\) czerwonych róż. Zapisaliśmy sobie, że róż czerwonych jest \(3x\), więc po zakupie Pana Nowaka, tych czerwonych róż zostało \(3x-40\). Z treści zadania wiemy, że po zakupie Pana Nowaka, białych róż jest \(2\) razy więcej od czerwonych, czyli białych róż jest teraz:
$$2\cdot(3x-40)=6x-80$$

Krok 3. Obliczenie liczby białych róż.
Na początku zapisaliśmy sobie, że białych róż jest \(x\), a teraz wyszło nam, że jest ich \(6x-80\). Te wartości muszą być sobie równe, bo liczba białych róż się nie zmieniła, jest cały czas taka sama. Możemy więc zapisać, że:
$$x=6x-80 \           ,\
-5x=-80 \           ,\
x=16$$

To oznacza, że w kwiaciarni było \(16\) białych róż.

Krok 1. Obliczenie długości boku kwadratu \(ABCD\).
Skoro pole naszego kwadratu jest równe \(400cm^2\), to korzystając ze wzoru na pole kwadratu możemy zapisać, że:
$$P=a^2 \           ,\
400cm^2=a^2 \           ,\
a=20cm$$

Krok 2. Obliczenie długości boku kwadratu \(K_{1}\).
Długość boku kwadratu \(K_{1}\) obliczymy dokładnie w ten sam sposób, co długość boku kwadratu \(ABCD\):
$$P=a^2 \           ,\
49cm^2=a^2 \           ,\
a=7cm$$

Krok 3. Obliczenie długości boku kwadratu \(K_{2}\).
Wiemy już, że duży kwadrat \(ABCD\) ma bok o długości \(20\), czyli że przykładowo odcinek \(|BC|=20cm\). Wiemy też, że kwadrat \(K_{1}\) ma długość boku \(7cm\). Jeżeli więc spojrzymy na bok \(BC\), to będziemy mogli wywnioskować, że kwadrat \(K_{2}\) ma bok o długości \(20-7=13\).


Krok 4. Obliczenie obwodu figury \(F\).
Spójrzmy na poniższy rysunek oraz na długości boków figury \(F\):


Z rysunku wynika, że obwód figury \(F\) będzie równy:
$$20cm+7cm+13cm+6cm+7cm+13cm=66cm$$