Z diagramu odczytujemy dane.

Dostawa: poniedziałek \(60\), wtorek \(100\), środa \(80\).
Sprzedaż: poniedziałek \(45\), wtorek \(85\), środa \(60\).

Zdanie 1. Sumujemy sprzedaż z trzech dni:

\(45+85+60=190\)

Zdanie jest prawdziwe (P).

Zdanie 2. Obliczamy, jaką część dostawy stanowi sprzedaż w poniedziałek:

\(\frac{45}{60}=\frac{3}{4}\)

Zdanie jest prawdziwe (P).

Odpowiedź: P, P.

Obliczamy długość pozostałej części tasiemki:

\(\frac{2}{3}-\frac{1}{2}=\frac{4}{6}-\frac{3}{6}=\frac{1}{6}\) m

Zamieniamy na centymetry:

\(\frac{1}{6}\ \text{m}=\frac{100}{6}\ \text{cm}=16\frac{2}{3}\ \text{cm}\approx 16{,}67\ \text{cm}\)

Liczba \(16\frac{2}{3}\) jest większa od \(16\) i mniejsza od \(17\).

Odpowiedź: D.

Zamieniamy masę słonia na kilogramy:

\(6\ \text{ton}=6\cdot 1000\ \text{kg}=6000\ \text{kg}\)

Obliczamy, ile razy masa słonia jest większa od masy góralka:

\(\frac{6000}{3}=2000\)

Odpowiedź: C.

Część pierwsza. Porządkujemy liczby rosnąco:

\(-0{,}65 \lt -0{,}456 \lt 0{,}234 \lt 0{,}7\)

Największa to \(0{,}7\), najmniejsza to \(-0{,}65\). Ich suma:

\(0{,}7+(-0{,}65)=0{,}05\) — odpowiedź B.

Część druga. Odległość między punktami na osi liczbowej to wartość bezwzględna różnicy:

\(|-0{,}456-(-0{,}65)|=|-0{,}456+0{,}65|=0{,}194\) — odpowiedź C.

Odpowiedź: BC.

Zdanie 1. Przy potęgowaniu potęgi wykładniki mnożymy:

\(\left(4^4\right)^3=4^{4\cdot 3}=4^{12}\)

Ponieważ \(4^{12}\neq 4^{7}\), zdanie jest fałszywe (F).

Zdanie 2. Przekształcamy pierwsze wyrażenie:

\(5^3\cdot 10^3=5^3\cdot(2\cdot 5)^3=5^3\cdot 2^3\cdot 5^3=5^{3+3}\cdot 2^3=5^6\cdot 2^3\)

Wyrażenia są równe, zdanie jest prawdziwe (P).

Odpowiedź: F, P.

Marcin odlał \(\frac{1}{3}\cdot k\) litrów, a Magda dodatkowo \(3\) litry.

Łącznie odlano:

\(\frac{1}{3}\cdot k+3\) litrów

W naczyniu pozostało zatem:

\(k-\left(\frac{1}{3}\cdot k+3\right)\) litrów

Odpowiedź: A.

Trzeci dzień zajęć przypada w pierwszym tygodniu kursu, więc zgodnie z tabelą organizator zwraca \(85\%\) wpłaty.

Obliczamy zwrot:

\(85\%\cdot 800\ \text{zł}=0{,}85\cdot 800\ \text{zł}=680\ \text{zł}\)

Odpowiedź: C.

Zamieniamy \(3\) minuty na sekundy:

\(3\ \text{min}=3\cdot 60\ \text{s}=180\ \text{s}\)

Sprawdzamy, ile razy mieści się w tym czasie odcinek \(10\)-sekundowy:

\(180:10=18\)

W każdym takim odcinku Ewa robi \(a\) kroków, więc łącznie:

\(18\cdot a=18a\) kroków

Odpowiedź: B.

Część pierwsza. Szacujemy pierwiastki kwadratowe:

\(\sqrt{100}=10\) oraz \(\sqrt{121}=11\), więc \(10\lt\sqrt{110}\lt 11\)

\(\sqrt{289}=17\) oraz \(\sqrt{324}=18\), więc \(17\lt\sqrt{300}\lt 18\)

Liczby naturalne spełniające warunek to \(11,12,13,14,15,16,17\) — jest ich \(7\), czyli odpowiedź A.

Część druga. Szacujemy pierwiastki sześcienne:

\(\sqrt[3]{8}=2\) oraz \(\sqrt[3]{27}=3\), więc \(2\lt\sqrt[3]{10}\lt 3\)

\(\sqrt[3]{125}=5\) oraz \(\sqrt[3]{216}=6\), więc \(5\lt\sqrt[3]{127}\lt 6\)

Liczby naturalne spełniające warunek to \(3, 4, 5\) — są \(3\), czyli odpowiedź D.

Odpowiedź: AD.

Liczby dwucyfrowe dodatnie to liczby od \(10\) do \(99\). Jest ich:

\(99-10+1=90\)

Wśród nich liczby podzielne przez \(20\) to: \(20, 40, 60, 80\) — są \(4\) takie liczby.

Prawdopodobieństwo:

\(P=\frac{4}{90}=\frac{2}{45}\)

Odpowiedź: A.

Zamieniamy czas na godziny:

\(12\ \text{min}=\frac{12}{60}\ \text{h}=0{,}2\ \text{h}\)

Korzystamy ze wzoru \(v=\frac{s}{t}\):

\(v=\frac{18\ \text{km}}{0{,}2\ \text{h}}=90\ \frac{\text{km}}{\text{h}}\)

Odpowiedź: C.

Zdanie 1. Oba trapezy są identyczne i równoramienne, a podział jest symetryczny względem poziomej osi prostokąta. Każdy trójkąt ma podstawę na krótszym boku prostokąta, a jego dwa pozostałe boki są ramionami trapezów o jednakowej długości. Trójkąty są więc równoramienne (P).

Zdanie 2. Kąt ostry trapezu to kąt między dłuższą podstawą (bokiem prostokąta) a ramieniem. Jeżeli ma on miarę \(30^\circ\), to kąt między ramieniem a bokiem prostokąta prostopadłym do podstawy wynosi:

\(90^\circ-30^\circ=60^\circ\)

Oba kąty przy podstawie trójkąta mają więc po \(60^\circ\), a trzeci kąt:

\(180^\circ-60^\circ-60^\circ=60^\circ\)

Wszystkie kąty trójkąta mają po \(60^\circ\), więc trójkąt jest równoboczny (P).

Odpowiedź: P, P.

Zdanie 1. Z rysunku odcinek \(DE\) jest prostopadły do boku \(AB\). Ponieważ \(DC\parallel AB\), to również \(DE\perp DC\).

Bok \(DC\) łączy prostą zawierającą bok \(ED\) z prostą zawierającą bok \(CF\) równoległoboku \(ECFD\) i jest do nich prostopadły, jest więc jego wysokością (P).

Zdanie 2. Obliczamy oba pola.

Dla \(ABCD\) podstawą jest \(AB\), a wysokością odcinek \(DE\):

\(P_{ABCD}=|AB|\cdot|DE|\)

Dla \(ECFD\) podstawą jest \(ED\), a wysokością — jak pokazano wyżej — odcinek \(DC\):

\(P_{ECFD}=|ED|\cdot|DC|\)

W równoległoboku \(ABCD\) boki przeciwległe są równe, więc \(|DC|=|AB|\). Stąd:

\(P_{ECFD}=|ED|\cdot|AB|=P_{ABCD}\)

Zdanie jest prawdziwe (P).

Odpowiedź: P, P.

Oznaczmy długości boków jako \(2x\), \(4x\) i \(5x\).

Z warunku na obwód:

\(2x+4x+5x=33\)

\(11x=33\)

\(x=3\)

Najkrótszy bok ma długość:

\(2x=2\cdot 3=6\) cm

Odpowiedź: C.

Z twierdzenia Pitagorasa obliczamy przeciwprostokątną podstawy:

\(c=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5\) cm

Pole jednej podstawy:

\(P_p=\frac{1}{2}\cdot 3\cdot 4=6\ \text{cm}^2\)

Pole powierzchni bocznej (obwód podstawy razy wysokość):

\(P_b=(3+4+5)\cdot 1=12\ \text{cm}^2\)

Porównujemy: \(12=2\cdot 6\), więc pole boczne jest dwa razy większe od pola podstawy — odpowiedź B.

Pole powierzchni całkowitej:

\(P_c=2\cdot P_p+P_b=2\cdot 6+12=24\ \text{cm}^2\) — odpowiedź C.

Odpowiedź: BC.

Obliczamy, ile monet pięciozłotowych Wojtek wymienił:

\(\frac{1}{2}\cdot 48=24\) monety

Wyznaczamy wartość wymienionych monet:

\(24\cdot 5\ \text{zł}=120\ \text{zł}\)

Za tę kwotę Wojtek otrzymał monety dwuzłotowe:

\(120:2=60\) monet

Dodajemy monety, które miał wcześniej:

\(30+60=90\)

Odpowiedź: Wojtek ma teraz \(90\) monet dwuzłotowych.

Oznaczmy przez \(n\) liczbę książek w języku niemieckim. Wtedy:

włoskie: \(\frac{n}{3}\), angielskie: \(2n\), francuskie: \(\frac{n}{3}+20\)

Układamy równanie na łączną liczbę książek:

\(n+\frac{n}{3}+2n+\left(\frac{n}{3}+20\right)=240\)

\(3n+\frac{2n}{3}=220\)

Mnożymy obie strony przez \(3\):

\(9n+2n=660\)

\(11n=660\)

\(n=60\)

Obliczamy liczbę książek francuskich:

\(\frac{60}{3}+20=20+20=40\)

Sprawdzenie: \(60+20+120+40=240\) ✓

Odpowiedź: dostarczono \(40\) książek w języku francuskim.

Trójkąty \(EAF\) i \(FBC\) są przystające, a zaznaczone kąty \(\alpha\) leżą przy wierzchołkach \(E\) oraz \(F\). Odpowiadające sobie wierzchołki to \(E\leftrightarrow F\), \(A\leftrightarrow B\), \(F\leftrightarrow C\).

Z przystawania wynika, że odpowiadające sobie boki są równe:

\(|AF|=|BC|=4\) cm

\(|FB|=|AE|=3\) cm

Obliczamy długość boku \(AB\):

\(|AB|=|AF|+|FB|=4+3=7\) cm

Drugi bok prostokąta jest równy \(|AD|=|BC|=4\) cm.

Pole prostokąta:

\(P=7\cdot 4=28\ \text{cm}^2\)

Odpowiedź: pole prostokąta \(ABCD\) jest równe \(28\) cm\(^2\).

Po wycięciu kwadratów w rogach i złożeniu pudełka wysokość jest równa bokowi wyciętego kwadratu:

\(H=2{,}5\) cm

Wymiary dna zmniejszają się z obu stron o bok kwadratu:

\(b=8-2\cdot 2{,}5=8-5=3\) cm

\(c=15-2\cdot 2{,}5=15-5=10\) cm

Obliczamy objętość prostopadłościanu:

\(V=b\cdot c\cdot H=3\cdot 10\cdot 2{,}5=75\ \text{cm}^3\)

Odpowiedź: objętość pudełka jest równa \(75\) cm\(^3\).