Zadanie 9 Matura z matematyki (poziom rozszerzony) - Czerwiec 2022 — zadania z rozwiązaniami

Krok 1. Oznaczenia i podstawowa proporcja.

Niech \(|AB|=a\) oraz \(|CD|=b\). Trójkąty \(AOB\) i \(COD\) są podobne (kąty naprzemianległe przy prostych równoległych \(AB\) i \(CD\)) w skali \(\frac{a}{b}\), zatem:

\(\frac{|AO|}{|OC|}=\frac{|BO|}{|OD|}=\frac{a}{b}\)

Stąd \(\frac{|AO|}{|AC|}=\frac{|BO|}{|BD|}=\frac{a}{a+b}\).

Krok 2. Odcinek \(BB'\).

W trójkącie \(ABC\) prosta przechodząca przez \(O\) równoległa do \(BC\) przecina bok \(AB\) w punkcie \(B'\). Z twierdzenia Talesa:

\(\frac{|AB'|}{|AB|}=\frac{|AO|}{|AC|}=\frac{a}{a+b}\)

\(|AB'|=\frac{a^2}{a+b}\)

\(|BB'|=|AB|-|AB'|=a-\frac{a^2}{a+b}=\frac{a(a+b)-a^2}{a+b}=\frac{ab}{a+b}\)

Krok 3. Odcinek \(AA'\).

W trójkącie \(ABD\) prosta przechodząca przez \(O\) równoległa do \(AD\) przecina bok \(AB\) w punkcie \(A'\). Z twierdzenia Talesa:

\(\frac{|BA'|}{|BA|}=\frac{|BO|}{|BD|}=\frac{a}{a+b}\)

\(|BA'|=\frac{a^2}{a+b}\)

\(|AA'|=|AB|-|BA'|=a-\frac{a^2}{a+b}=\frac{ab}{a+b}\)

Krok 4. Wniosek.

\(|AA'|=|BB'|=\frac{ab}{a+b}\), co należało wykazać. \(\blacksquare\)