Oznaczmy przyprostokątne przez $a$ i $b$, przeciwprostokątną przez $c$, a promień okręgu wpisanego przez $r$.

Krok 1. Promień okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny.

$$r=\frac{a+b-c}{2}.$$

Z warunku zadania $r=\frac{c}{5}$, więc

$$\frac{a+b-c}{2}=\frac{c}{5}\ \Longrightarrow\ a+b=\frac{7c}{5}.$$

Krok 2. Iloczyn przyprostokątnych. Podnosimy sumę do kwadratu i korzystamy z twierdzenia Pitagorasa $a^{2}+b^{2}=c^{2}$:

$$(a+b)^{2}=c^{2}+2ab=\frac{49c^{2}}{25}\ \Longrightarrow\ ab=\frac{12c^{2}}{25}.$$

Krok 3. Wyznaczenie przyprostokątnych. Liczby $a$ i $b$ są pierwiastkami równania

$$t^{2}-\frac{7c}{5}t+\frac{12c^{2}}{25}=0,\qquad \Delta=\frac{c^{2}}{25},\qquad \sqrt{\Delta}=\frac{c}{5}.$$

$$t_1=\frac{4c}{5},\qquad t_2=\frac{3c}{5}.$$

Trójkąt jest więc podobny do trójkąta o bokach $3,4,5$.

Krok 4. Szukany sinus. Większy kąt ostry leży naprzeciw dłuższej przyprostokątnej:

$$\sin\alpha=\frac{4c}{5}:c=\frac{4}{5}=0{,}8.$$

Sprawdzenie: dla trójkąta $3,4,5$ mamy $r=\frac{3+4-5}{2}=1$ oraz $\frac{c}{5}=1$ ✓.

Odpowiedź: $\sin\alpha=\frac{4}{5}$