📄 Treść zadania
Dany jest ciąg arytmetyczny \((a_{n})\) dla \(n\ge1\), w którym \(a_{10}=11\) oraz \(a_{100}=111\). Wtedy różnica \(r\) tego ciągu jest równa:
A
\(\frac{9}{10}\)
B
\(-100\)
C
\(\frac{10}{9}\)
D
\(100\)
Korzystając ze wzoru ogólnego na \(n\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego, czyli \(a_{n}=a_{1}+(n-1)r\) możemy zapisać, że:
$$a_{10}=a_{1}+(10-1)r$$
$$a_{10}=a_{1}+9r$$
$$\quad$$
$$a_{100}=a_{1}+(100-1)r$$
$$a_{100}=a_{1}+99r$$
To oznacza, że:
$$a_{100}-a_{10}=a_{1}+99r-(a_{1}+9r)$$
$$a_{100}-a_{10}=a_{1}+99r-a_{1}-9r$$
$$a_{100}-a_{10}=90r$$
Podstawiając teraz do naszego równania wartości setnego i dziesiątego wyrazu otrzymamy:
$$111-11=90r$$
$$100=90r$$
$$r=\frac{100}{90}$$
$$r=\frac{10}{9}$$