Zadanie 24 Matura z matematyki (poziom podstawowy) - Czerwiec 2025 — zadania z rozwiązaniami

Krok 1. Oznaczenia.

Krawędzie tworzą ciąg geometryczny o ilorazie \(4\), więc mają długości:

\(a\), \(4a\), \(16a\), gdzie \(a\gt 0\)

Krok 2. Pole powierzchni całkowitej.

\(P_c=2(a\cdot 4a+a\cdot 16a+4a\cdot 16a)\)

\(P_c=2\left(4a^2+16a^2+64a^2\right)=2\cdot 84a^2=168a^2\)

Z warunku zadania:

\(168a^2=94{,}5\)

\(a^2=\frac{94{,}5}{168}=0{,}5625=\frac{9}{16}\)

\(a=\frac{3}{4}=0{,}75\)

Krok 3. Objętość.

\(V=a\cdot 4a\cdot 16a=64a^3\)

\(V=64\cdot\left(\frac{3}{4}\right)^3=64\cdot\frac{27}{64}=27\)

Sprawdzenie: krawędzie mają długości \(0{,}75\), \(3\), \(12\); \(P_c=2(2{,}25+9+36)=2\cdot 47{,}25=94{,}5\) ✓, \(V=0{,}75\cdot 3\cdot 12=27\) ✓

Odpowiedź: objętość prostopadłościanu jest równa \(27\).