Zadanie 10 Matura z matematyki (poziom rozszerzony) - Czerwiec 2016 — zadania z rozwiązaniami

Krok 1. Cofanie się po wzorze rekurencyjnym.

Ze wzoru \(a_{n+1}=a_n+n-4\) mamy \(a_n=a_{n+1}-n+4\).

Dla \(n=3\): \(a_4=a_3+3-4\), czyli \(4=a_3-1\Rightarrow a_3=5\)

Dla \(n=2\): \(a_3=a_2+2-4\), czyli \(5=a_2-2\Rightarrow a_2=7\)

Dla \(n=1\): \(a_2=a_1+1-4\), czyli \(7=a_1-3\Rightarrow a_1=10\)

Krok 2. Badanie monotoniczności.

\(a_{n+1}-a_n=n-4\)

Dla \(n=1,2,3\) różnica jest ujemna (ciąg maleje), ale dla \(n=4\) różnica jest równa \(0\), a dla \(n\gt 4\) jest dodatnia.

W szczególności:

\(a_5=a_4+4-4=4=a_4\)

Skoro \(a_5=a_4\), to nie zachodzi \(a_5\lt a_4\), a zatem ciąg nie jest malejący.

Odpowiedź: \(a_1=10\); ciąg \((a_n)\) nie jest malejący.