Zadanie 8 Matura – Matematyka (Poziom podstawowy) 2009 – arkusz z rozwiązaniami

1) Podobieństwo trójkątów. Rozpatrzmy trójkąty \(ABD\) i \(BDC\):

• \(\sphericalangle ADB=\sphericalangle DCB\) — z założenia,

• \(\sphericalangle DBA=\sphericalangle BDC\) — kąty naprzemianległe przy prostych równoległych \(AB\) i \(CD\) przeciętych przekątną \(BD\).

Trójkąty są więc podobne (cecha kąt–kąt), przy czym bokowi \(AD\) odpowiada bok \(BC\), bokowi \(BD\) — bok \(CD\), a bokowi \(AB\) — bok \(BD\).

2) Skala podobieństwa.

\(k=\dfrac{|AD|}{|BC|}=\dfrac{25}{15}=\dfrac53\).

3) Pozostałe długości.

\(\dfrac{|BD|}{|CD|}=k\ \Rightarrow\ |BD|=\dfrac53\cdot18=30\),

\(\dfrac{|AB|}{|BD|}=k\ \Rightarrow\ |AB|=\dfrac53\cdot30=50\).

4) Obwód.

\(Obw=|AB|+|BC|+|CD|+|DA|=50+15+18+25=108\).