Dziedzina. Wszystkie liczby logarytmowane muszą być dodatnie:
\(x^2-1>0\Rightarrow x\lt -1\ \text{lub}\ x>1\); \(\ 5-x>0\Rightarrow x\lt 5\); \(\ 3(x+1)>0\Rightarrow x>-1\).
Częścią wspólną jest \(D=(1,5)\).
Rozwiązanie nierówności. Z sumy logarytmów:
\(\log_{\frac13}\bigl[(x^2-1)(5-x)\bigr]>\log_{\frac13}\bigl(3(x+1)\bigr)\).
Podstawa \(\tfrac13\in(0,1)\), więc funkcja logarytmiczna jest malejąca i nierówność zmienia kierunek:
\((x^2-1)(5-x)\lt 3(x+1)\).
W dziedzinie \(x+1>0\), więc możemy podzielić obie strony przez \(x+1\):
\((x-1)(5-x)\lt 3\),
\(-x^2+6x-5\lt 3\), czyli \(x^2-6x+8>0\), a więc \((x-2)(x-4)>0\).
Stąd \(x\lt 2\) lub \(x>4\).
Część wspólna z dziedziną: \(x\in(1,2)\cup(4,5)\).