Zadanie 1 Matura – Matematyka (Poziom rozszerzony) 2007 – arkusz z rozwiązaniami

Opuszczamy wartości bezwzględne w trzech przedziałach wyznaczonych przez \(x=-2\) i \(x=1\):

• dla \(x\lt -2\): \(f(x)=(1-x)-(-x-2)=3\),

• dla \(-2\le x\lt 1\): \(f(x)=(1-x)-(x+2)=-2x-1\),

• dla \(x\ge1\): \(f(x)=(x-1)-(x+2)=-3\).

a) Dla \(x\in(-\infty,-2)\) funkcja jest stała i równa \(3\), więc zbiorem wartości jest \(\{3\}\).

b) Wykres składa się z trzech części: półprostej poziomej \(y=3\) dla \(x\lt -2\), odcinka prostej \(y=-2x-1\) łączącego punkty \((-2,3)\) i \((1,-3)\) oraz półprostej poziomej \(y=-3\) dla \(x\ge1\). Wykres jest ciągły, a zbiorem wartości funkcji jest przedział \(\langle-3,3\rangle\).

c) Miejsce zerowe może leżeć tylko na środkowym odcinku:

\(-2x-1=0\), skąd \(x=-\dfrac12\) (i \(-\tfrac12\in\langle-2,1)\)).

d) Ponieważ zbiorem wartości funkcji jest \(\langle-3,3\rangle\), równanie \(f(x)=m\) nie ma rozwiązań dokładnie wtedy, gdy \(m\lt -3\) lub \(m>3\).