Zadanie 3 Matura – Matematyka (Poziom rozszerzony) 2007 – arkusz z rozwiązaniami

Oznaczmy przez \(r\) promień (wspólny dla stożka i półkuli), a przez \(h=r+1\) wysokość stożka.

\(V_{s}=\tfrac13\pi r^2(r+1)\), \(\ V_{p}=\tfrac23\pi r^3\), \(\ V=V_s+V_p\).

Z warunku \(V_s=\tfrac23V\) wynika \(V_p=\tfrac13V\), a więc \(V_s=2V_p\):

\(\tfrac13\pi r^2(r+1)=2\cdot\tfrac23\pi r^3=\tfrac43\pi r^3\).

Dzieląc przez \(\tfrac13\pi r^2\ (r>0)\):

\(r+1=4r\), skąd \(r=\dfrac13\) (m), a \(h=\dfrac43\) (m).

Obliczamy objętości:

\(V_s=\tfrac13\pi\cdot\tfrac19\cdot\tfrac43=\dfrac{4\pi}{81}\), \(\ V_p=\tfrac23\pi\cdot\tfrac{1}{27}=\dfrac{2\pi}{81}\).

\(V=\dfrac{4\pi}{81}+\dfrac{2\pi}{81}=\dfrac{6\pi}{81}=\dfrac{2\pi}{27}\approx0{,}23\ \text{m}^3\).

Sprawdzenie: \(\dfrac{V_s}{V}=\dfrac{4\pi/81}{6\pi/81}=\dfrac23\). ✅