📄 Treść zadania
Przyjmijmy, że \(log5=p\). Wtedy:
A
\(p+1=log\frac{1}{2}\)
B
\(2p-2=log\frac{1}{4}\)
C
\(p-1=log\frac{1}{20}\)
D
\(p^2-2=log\frac{1}{4}\)
Musimy do każdej z odpowiedzi podstawić pod \(p\) wartość \(log5\) i sprawdzić, kiedy otrzymamy prawidłowe równanie. Przy okazji warto sobie powiedzieć, że skoro w logarytmie nie mamy podstawy, to domyślnie podstawa jest równa \(10\), czyli \(log5\) to tak naprawdę \(log_{10}5\).
Zanim zaczniemy podstawianie to warto też sobie powiedzieć, że kluczem do rozwiązania tego zadania jest dostrzeżenie tego, że \(1\) to jest \(log10\) (lub jak kto woli \(log_{10}10\)). Analogicznie \(2\) to jest \(2log10\), co zapisać też możemy jako \(log10^2=log100\). Zamiana tych liczb na logarytmy umożliwi nam wykonywanie działań na logarytmach. Sprawdźmy zatem poprawność każdej z odpowiedzi i policzmy wartości, które znalazły się po lewej stronie każdego z równań:
Odp. A.
\(p+1=log5+log10=log(5\cdot10)=log50\)
Nie otrzymaliśmy wartości \(log\frac{1}{2}\), zatem to równanie jest nieprawdziwe.
Odp. B.
\(2p-2=2log5-2log10=log25-log100=log\frac{25}{100}=log\frac{1}{4}\)
Otrzymaliśmy wartość \(log\frac{1}{4}\), czyli tą samą, która znalazła się po prawej stronie równania, zatem to jest poszukiwana przez nas odpowiedź.
Odp. C.
\(p-1=log5-log10=log\frac{5}{10}=log\frac{1}{2}\)
Nie otrzymaliśmy wartości \(log\frac{1}{20}\), zatem to równanie jest nieprawdziwe.
Odp. D.
\(p^2-2=(log5)^2-2log10=log^{2}5-log100\)
Tego działania już za bardzo nie uprościmy, a tym bardziej nie osiągniemy wartości \(log\frac{1}{4}\). Tutaj ważne było to, aby nie pomylić \((log5)^2\) z \(log5^2\), bo z tej drugiej formy faktycznie wyszłoby nam że całe wyrażenie jest równe \(log\frac{1}{4}\).
To oznacza, że prawidłowa jest druga odpowiedź.