Zadanie 3 Matura – Matematyka (Poziom rozszerzony) 2008 – arkusz z rozwiązaniami

Ze wzorów Viète'a:

\(x_1+x_2=p^2+q^2\) oraz \(x_1x_2=p+q\).

Obliczamy:

\(x_1+x_2=(5+\sqrt{23})+(5-\sqrt{23})=10\),

\(x_1x_2=(5+\sqrt{23})(5-\sqrt{23})=25-23=2\).

Otrzymujemy układ \(p^2+q^2=10\), \(p+q=2\).

Z tożsamości \((p+q)^2=p^2+2pq+q^2\):

\(4=10+2pq\), skąd \(pq=-3\).

Liczby \(p\) i \(q\) są więc pierwiastkami równania \(t^2-2t-3=0\), czyli \((t-3)(t+1)=0\), skąd \(t=3\) lub \(t=-1\).

Odpowiedź: \(p=3,\ q=-1\) albo \(p=-1,\ q=3\).