Krok 1. Uproszczenie warunku. Oznaczmy $D=4x_1-4x_2$. Lewa strona to różnica kwadratów:
$$(D-1)(D+1)=D^{2}-1\lt 0\ \Longleftrightarrow\ D^{2}\lt 1.$$
$$16\left(x_1-x_2\right)^{2}\lt 1\ \Longleftrightarrow\ \left(x_1-x_2\right)^{2}\lt \frac{1}{16}.$$
Krok 2. Wzory Viète'a. Dla równania $4x^{2}-6mx+(2m+3)(m-3)=0$:
$$S=x_1+x_2=\frac{6m}{4}=\frac{3m}{2},\qquad P=x_1x_2=\frac{(2m+3)(m-3)}{4}.$$
Krok 3. Kwadrat różnicy pierwiastków.
$$\left(x_1-x_2\right)^{2}=\left(x_1+x_2\right)^{2}-4x_1x_2=S^{2}-4P.$$
Rozwijamy $(2m+3)(m-3)=2m^{2}-3m-9$, zatem
$$\left(x_1-x_2\right)^{2}=\frac{9m^{2}}{4}-\left(2m^{2}-3m-9\right)=\frac{9m^{2}-8m^{2}}{4}+3m+9=\frac{m^{2}}{4}+3m+9.$$
$$=\frac{m^{2}+12m+36}{4}=\frac{(m+6)^{2}}{4}.$$
Krok 4. Warunek dwóch różnych pierwiastków. Pierwiastki są różne dokładnie wtedy, gdy $\left(x_1-x_2\right)^{2}>0$:
$$\frac{(m+6)^{2}}{4}>0\ \Longleftrightarrow\ m\neq-6.$$
Krok 5. Warunek z treści zadania.
$$\frac{(m+6)^{2}}{4}\lt \frac{1}{16}\ \Longleftrightarrow\ (m+6)^{2}\lt \frac14\ \Longleftrightarrow\ |m+6|\lt \frac12.$$
$$-\frac12\lt m+6\lt \frac12\ \Longleftrightarrow\ -\frac{13}{2}\lt m\lt -\frac{11}{2}.$$
Krok 6. Część wspólna. Usuwamy punkt $m=-6$:
$$m\in\left(-\frac{13}{2},\,-6\right)\cup\left(-6,\,-\frac{11}{2}\right).$$
Kontrola: dla $m=-5{,}75$ mamy $(m+6)^{2}=0{,}0625$, więc $\left(x_1-x_2\right)^{2}=0{,}015625=\frac{1}{64}\lt \frac{1}{16}$ ✓ oraz $\Delta>0$ ✓
Odpowiedź: $m\in\left(-\frac{13}{2},-6\right)\cup\left(-6,-\frac{11}{2}\right)$