Zadanie 4 Matura – Matematyka (Poziom rozszerzony) 2008 – arkusz z rozwiązaniami

Korzystamy z jedynki trygonometrycznej \(\cos^2x=1-\sin^2x\):

\(4(1-\sin^2x)=4\sin x+1\),

\(4\sin^2x+4\sin x-3=0\).

Podstawiamy \(t=\sin x\), \(t\in\langle-1,1\rangle\):

\(4t^2+4t-3=0\), \(\Delta=16+48=64\), \(t=\dfrac{-4-8}{8}=-\dfrac32\) lub \(t=\dfrac{-4+8}{8}=\dfrac12\).

Wartość \(t=-\tfrac32\) odrzucamy. Pozostaje \(\sin x=\tfrac12\), co w przedziale \(\langle0,2\pi\rangle\) daje

\(x=\dfrac{\pi}{6}\) lub \(x=\dfrac{5\pi}{6}\).