Zadanie 4 Matura – Matematyka (Poziom rozszerzony) 2012 Czerwiec — arkusz z rozwiązaniami

Mamy \(a=2\), \(b=3-2m\), \(c=1-m\). Wyróżnik:

\(\Delta=(3-2m)^2-8(1-m)=4m^2-12m+9-8+8m=4m^2-4m+1=(2m-1)^2\).

Warunek dwóch różnych pierwiastków: \(\Delta>0\), czyli \(m\neq\tfrac12\).

Ze wzorów Viète'a \((x_1-x_2)^2=(x_1+x_2)^2-4x_1x_2=\dfrac{\Delta}{a^2}\), więc

\(|x_1-x_2|=\dfrac{\sqrt{\Delta}}{|a|}=\dfrac{|2m-1|}{2}=3\).

Stąd \(|2m-1|=6\), czyli \(2m-1=6\) lub \(2m-1=-6\), a więc \(m=\tfrac72\) lub \(m=-\tfrac52\). Oba spełniają warunek \(m\neq\tfrac12\).