W kartezjańskim układzie współrzędnych punkty $A=(1,-1)$ oraz $B=(4,0)$ są wierzchołkami trójkąta $ABC$, w którym $|CA|=|CB|$. Jedno z ramion trójkąta $ABC$ zawiera się w prostej o równaniu $x+2y-4=0$. Na boku $AC$ tego trójkąta obrano taki punkt $M$, że $|AM|:|MC|=1:4$. Wyznacz równanie okręgu, który ma środek w punkcie $M$ i przechodzi przez punkt $C$.
🎓 Wzorcowe rozwiązanie krok po kroku
Krok 1. Wyznaczenie punktu $C$.
Punkt $A$ nie leży na prostej $x+2y-4=0$ ($1-2-4=-5\ne0$), a $B$ leży ($4+0-4=0$). Ramieniem zawartym w prostej jest więc $CB$, zatem $C$ leży na tej prostej: $x_{C}=4-2y_{C}$.
Z warunku $|CA|=|CB|$: $(x_{C}-1)^{2}+(y_{C}+1)^{2}=(x_{C}-4)^{2}+y_{C}^{2}$, co po uproszczeniu daje $3x_{C}+y_{C}=7$. Łącząc z $x_{C}=4-2y_{C}$: $3(4-2y_{C})+y_{C}=7\Rightarrow y_{C}=1,\ x_{C}=2$. Zatem $C=(2,1)$.
Krok 2. Punkt $M$ na $AC$, $|AM|:|MC|=1:4$.
$$M=A+\tfrac15(C-A)=(1,-1)+\tfrac15(1,2)=\left(\tfrac{6}{5},-\tfrac{3}{5}\right).$$
Załóż bezpłatne konto i otwórz dostęp do pełnego śledzenia postępów, planów nauki i quizów. Arkusze i zadania podstawowe są dostępne bez rejestracji. Już ponad 5 000 uczniów uczy się z Matematix.