Rozwiąż nierówność $$\sqrt{x^{2}+4x+4}\lt \frac{25}{3}-\sqrt{x^{2}-6x+9}.$$ Wskazówka: skorzystaj z tego, że $\sqrt{a^{2}}=|a|$ dla każdej liczby rzeczywistej $a$.
🎓 Wzorcowe rozwiązanie krok po kroku
Krok 1. Zwinięcie do kwadratów zupełnych.
$$x^{2}+4x+4=(x+2)^{2},\qquad x^{2}-6x+9=(x-3)^{2}.$$
Zatem $\sqrt{x^{2}+4x+4}=|x+2|$ oraz $\sqrt{x^{2}-6x+9}=|x-3|$, a nierówność przyjmuje postać
$$|x+2|+|x-3|\lt \frac{25}{3}.$$
Krok 2. Rozpatrzenie przedziałów.
Dla $x\lt -2$: $-(x+2)-(x-3)=-2x+1\lt \tfrac{25}{3}\Rightarrow -2x\lt \tfrac{22}{3}\Rightarrow x>-\tfrac{11}{3}$. Stąd $-\tfrac{11}{3}\lt x\lt -2$.
Dla $-2\le x\le 3$: $(x+2)+(3-x)=5\lt \tfrac{25}{3}$ — prawda dla wszystkich takich $x$. Stąd cały przedział $\langle -2,3\rangle$.
Dla $x>3$: $(x+2)+(x-3)=2x-1\lt \tfrac{25}{3}\Rightarrow 2x\lt \tfrac{28}{3}\Rightarrow x\lt \tfrac{14}{3}$. Stąd $3\lt x\lt \tfrac{14}{3}$.
Załóż bezpłatne konto i otwórz dostęp do pełnego śledzenia postępów, planów nauki i quizów. Arkusze i zadania podstawowe są dostępne bez rejestracji. Już ponad 5 000 uczniów uczy się z Matematix.