Czworokąt $ABCD$, w którym $|BC|=4$ i $|CD|=5$, jest opisany na okręgu. Przekątna $AC$ tego czworokąta tworzy z bokiem $BC$ kąt o mierze $60^{\circ}$, natomiast z bokiem $AB$ — kąt ostry, którego sinus jest równy $\frac{1}{4}$. Oblicz obwód czworokąta $ABCD$.
🎓 Wzorcowe rozwiązanie krok po kroku
Krok 1. Twierdzenie o czworokącie opisanym na okręgu.
W czworokącie opisanym sumy przeciwległych boków są równe:
$$|AB|+|CD|=|BC|+|AD|.$$
Obwód $=|AB|+|BC|+|CD|+|AD|=2\big(|AB|+|CD|\big)$, więc wystarczy wyznaczyć $|AB|$.
Krok 2. Trójkąt $ABC$ i twierdzenie sinusów.
W trójkącie $ABC$: $\angle ACB=60^{\circ}$ (kąt między $AC$ i $BC$), $\angle BAC=\alpha$ (kąt między $AC$ i $AB$), $\sin\alpha=\tfrac14$, a bok $BC=4$ leży naprzeciw kąta $\alpha$. Z twierdzenia sinusów:
Załóż bezpłatne konto i otwórz dostęp do pełnego śledzenia postępów, planów nauki i quizów. Arkusze i zadania podstawowe są dostępne bez rejestracji. Już ponad 5 000 uczniów uczy się z Matematix.