Określamy kwadraty $K_{1},K_{2},K_{3},\dots$ następująco: $K_{1}$ jest kwadratem o boku długości $a$; dla każdego $n\ge 2$ kwadrat $K_{n}$ ma każdy wierzchołek na innym boku kwadratu $K_{n-1}$ i dzieli ten bok w stosunku $1:3$. Obwody wszystkich tych kwadratów tworzą nieskończony ciąg geometryczny. Oblicz sumę wszystkich wyrazów tego nieskończonego ciągu.
🎓 Wzorcowe rozwiązanie krok po kroku
Krok 1. Bok kolejnego kwadratu.
Wierzchołek $K_{n}$ dzieli bok $K_{n-1}$ o długości $s$ na części $\tfrac{s}{4}$ i $\tfrac{3s}{4}$. Bok kwadratu wpisanego jest przeciwprostokątną trójkąta o przyprostokątnych $\tfrac{s}{4}$ i $\tfrac{3s}{4}$:
Obwód jest proporcjonalny do boku, więc iloraz to $q=\dfrac{\sqrt{10}}{4}$. Ponieważ $\sqrt{10}\approx3{,}16$, mamy $0\lt q\lt 1$ — szereg jest zbieżny. Pierwszy wyraz $P_{1}=4a$.
Załóż bezpłatne konto i otwórz dostęp do pełnego śledzenia postępów, planów nauki i quizów. Arkusze i zadania podstawowe są dostępne bez rejestracji. Już ponad 5 000 uczniów uczy się z Matematix.