Krok 1 — pomysł. Oznaczmy $p=\frac{\alpha+\beta}{2}$ i $q=\frac{\alpha-\beta}{2}$. Wtedy $\alpha=p+q$ oraz $\beta=p-q$.
Krok 2 — rozpisujemy oba sinusy wzorami na sumę i różnicę:
$$\sin\alpha=\sin(p+q)=\sin p\cos q+\cos p\sin q$$
$$\sin\beta=\sin(p-q)=\sin p\cos q-\cos p\sin q$$
Krok 3 — dodajemy stronami. Składniki $\cos p\sin q$ się znoszą:
$$\sin\alpha+\sin\beta=2\sin p\cos q$$
Krok 4 — wracamy do $\alpha$, $\beta$:
$$=2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2} \qquad ∎$$
Uwaga. Analogicznie, odejmując te równania, otrzymamy wzór na różnicę sinusów — wszystkie cztery wzory pochodzą z tego samego podstawienia.
Sprawdzenie dla $\alpha=\beta$: lewa strona $2\sin\alpha$, prawa $2\sin\alpha\cos0=2\sin\alpha$ ✔