Krok 1 — szukamy punktów wspólnych. Podstawiamy $y=r$ do równania okręgu:
$$x^2+r^2=r^2$$
Krok 2 — upraszczamy:
$$x^2=0 \quad\Rightarrow\quad x=0$$
Krok 3 — wniosek. Układ ma dokładnie jedno rozwiązanie, a to właśnie definicja styczności prostej i okręgu. $\qquad ∎$
Krok 4 — punkt styczności:
$$(0,\ r)$$
Sposób alternatywny. Odległość środka $(0,0)$ od prostej poziomej $y=r$ wynosi $r$ — dokładnie tyle, ile promień. A warunek styczności prostej i okręgu to właśnie równość odległości środka od prostej i promienia.
Sprawdzenie dla $r=5$: prosta $y=5$ dotyka okręgu $x^2+y^2=25$ w punkcie $(0,5)$, czyli w jego najwyższym punkcie ✔