Zadanie 20 Pochodna funkcji złożonej i działania na pochodnych — zbiór zadań (klasa 3 LO) — zadania z rozwiązaniami

Krok 1 — reguła łańcuchowa. Zewnętrzna $u^2$, wewnętrzna $u=ax+b$:

$$f'(x)=2(ax+b)\cdot(ax+b)'$$

Krok 2 — pochodna wnętrza to $a$:

$$f'(x)=2(ax+b)\cdot a=2a(ax+b) \qquad ∎$$

Krok 3 — weryfikacja przez rozwinięcie. Rozwijamy najpierw funkcję:

$$f(x)=a^2x^2+2abx+b^2$$

$$f'(x)=2a^2x+2ab=2a(ax+b) \ ✔$$

Oba podejścia dają ten sam wynik, co potwierdza tezę.

Sprawdzenie liczbowe dla $a=2$, $b=1$, $x=1$: $2\cdot2\cdot(2+1)=12$, a z rozwinięcia $8\cdot1+4=12$ ✔