Zadanie 17 Funkcja homograficzna i hiperbola — zbiór zadań (klasa 2 LO) — zadania z rozwiązaniami

Krok 1 — rozkładamy licznik tak, by pojawił się mianownik. Chcemy w liczniku wydzielić $2(x+1)$:

$$2x+1=2(x+1)-1$$

Krok 2 — dzielimy wyraz po wyrazie:

$$f(x)=\frac{2(x+1)-1}{x+1}=2-\frac{1}{x+1}$$

Krok 3 — odczytujemy asymptoty. To hiperbola $-\frac1x$ przesunięta o wektor $[-1,\ 2]$:

$$\text{pionowa: } x=-1,\qquad \text{pozioma: } y=2$$

Metoda uniwersalna. Aby rozłożyć funkcję homograficzną, w liczniku „odtwarzamy” mianownik i dzielimy — to standardowy chwyt, który ujawnia postać przesuniętej hiperboli.

Odpowiedź: $f(x)=2-\frac{1}{x+1}$; asymptoty $x=-1$, $y=2$.