Krok 1 — rozpisujemy lewą stronę. Pierwszy składnik:
$$\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta$$
Krok 2 — drugi składnik:
$$\sin(\alpha-\beta)=\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta$$
Krok 3 — dodajemy. Składniki z $\cos\alpha\sin\beta$ mają przeciwne znaki i się redukują:
$$\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta+\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta=2\sin\alpha\cos\beta \qquad ∎$$
Do czego to służy. Wzór czytany od prawej do lewej zamienia iloczyn na sumę — a sumy łatwiej się całkuje i rozwiązuje w równaniach trygonometrycznych. Analogicznie odejmowanie tych wzorów daje $\sin(\alpha+\beta)-\sin(\alpha-\beta)=2\cos\alpha\sin\beta$.
Sprawdzenie dla $\alpha=60^\circ$, $\beta=30^\circ$: lewa strona to $\sin90^\circ+\sin30^\circ=1+\frac12=\frac32$, prawa $2\cdot\frac{\sqrt3}{2}\cdot\frac{\sqrt3}{2}=\frac32$ ✔