Zadanie 19 Wzory redukcyjne i funkcje trygonometryczne sumy kątów — zbiór zadań (klasa 3 LO) — zadania z rozwiązaniami

Krok 1 — redukujemy każdy czynnik osobno:

$$\sin\left(180^\circ-\alpha\right)=\sin\alpha$$

$$\cos\left(90^\circ-\alpha\right)=\sin\alpha$$

$$\cos\left(180^\circ+\alpha\right)=-\cos\alpha$$

$$\sin\left(90^\circ+\alpha\right)=\cos\alpha$$

Krok 2 — podstawiamy:

$$\sin\alpha\cdot\sin\alpha+\left(-\cos\alpha\right)\cdot\cos\alpha=\sin^2\alpha-\cos^2\alpha$$

Krok 3 — rozpoznajemy wzór:

$$\sin^2\alpha-\cos^2\alpha=-\left(\cos^2\alpha-\sin^2\alpha\right)=-\cos2\alpha$$

Sprawdzenie dla $\alpha=45^\circ$: wyrażenie wyjściowe daje $\frac{\sqrt2}{2}\cdot\frac{\sqrt2}{2}-\frac{\sqrt2}{2}\cdot\frac{\sqrt2}{2}=0$, a $-\cos90^\circ=0$ ✔

Odpowiedź: $-\cos2\alpha$.