Zadanie 18 Ciągi — pojęcie, rekurencja i monotoniczność — zbiór zadań (klasa 3 LO) — zadania z rozwiązaniami

Krok 1 — przekształcamy wzór:

$$a_n=\frac{(n+1)+1}{n+1}=1+\frac{1}{n+1}$$

Krok 2 — wyrazy większe od $1$. Składnik $\frac{1}{n+1}$ jest dodatni dla każdego $n$ naturalnego, więc:

$$a_n=1+\frac{1}{n+1}>1 \qquad ∎$$

Krok 3 — monotoniczność:

$$a_{n+1}-a_n=\frac{1}{n+2}-\frac{1}{n+1}=\frac{-1}{(n+1)(n+2)}\lt 0$$

Różnica jest ujemna, więc ciąg maleje. ∎

Sprawdzenie: $1{,}5$; $1\frac13$; $1{,}25$; $1{,}2$ — maleje i pozostaje nad jedynką ✔