📄 Treść zadania
Na płaszczyźnie, w kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\), dany jest trójkąt \(ABC\). Podstawa \(AB\) tego trójkąta zawiera się w prostej o równaniu \(y=-3x+6\). Wierzchołki \(A\) i \(B\) leżą – odpowiednio – na osi \(Oy\) oraz \(Ox\). Wierzchołek \(C\) ma współrzędne \((3,7)\). Oblicz pole trójkąta \(ABC\).
Krok 1. Wyznaczenie współrzędnych punktu \(A\).
Z treści zadania wynika, że wierzchołek \(A\) leży na osi \(Oy\), co prowadzi nas do wniosku, że współrzędna \(x\) tego punktu jest równa \(0\). Musimy jeszcze wyznaczyć brakującą współrzędną \(y\). Wiemy, że punkt \(A\) znajduje się na prostej o równaniu \(y=-3x+6\), zatem podstawiając znaną współrzędną \(x=0\), wyjdzie nam, że:
$$y=-3\cdot0+6$$
$$y=0+6$$
$$y=6$$
Tym samym \(A=(0,6)\).
Krok 2. Wyznaczenie współrzędnych punktu \(B\).
Punkt \(B\) leży na osi \(Ox\), czyli jego współrzędna \(y\) jest równa \(0\). Musimy więc wyznaczyć jeszcze współrzędną \(x\) i zrobimy to dość podobnie jak w poprzednim zadaniu - punkt \(B\) także leży na prostej o równaniu \(y=-3x+6\), zatem podstawiając znane \(y=0\), otrzymamy:
$$0=-3x+6$$
$$-6=-3x$$
$$x=2$$
To oznacza, że \(B=(2,0)\).
Krok 3. Obliczenie pola powierzchni trójkąta \(ABC\).
W tym zadaniu możemy skorzystać z nietypowego wzoru na pole trójkąta, który znajduje się w tablicach maturalnych:
$$P=\frac{1}{2}\left|(x_{B}-x_{A})(y_{C}-y_{A})-(y_{B}-y_{A})(x_{C}-x_{A})\right|$$
Znamy współrzędne wszystkich wierzchołków trójkąta, czyli \(A=(0,6)\), \(B=(2,0)\) oraz \(C=(3,7)\), zatem:
$$P=\frac{1}{2}\cdot|(2-0)(7-6)-(0-6)(3-0)|$$
$$P=\frac{1}{2}\cdot|2\cdot1-(-6)\cdot3|$$
$$P=\frac{1}{2}\cdot|2-(-18)|$$
$$P=\frac{1}{2}\cdot20$$
$$P=10$$