📄 Treść zadania
Liczby \(x, y, z\), których suma jest równa \(114\), tworzą w podanej kolejności ciąg geometryczny. Liczby te są również wyrazami pewnego ciągu arytmetycznego \((a_{n})\), gdzie \(n\ge1\), w którym \(x=a_{1}\), \(y=a_{4}\) i \(z=a_{25}\). Oblicz liczby \(x, y, z\).
Krok 1. Zapisanie równań.
Korzystając ze wzoru na \(n\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego, możemy zapisać, że:
$$a_{4}=a_{1}+3r$$
$$a_{25}=a_{1}+24r$$
Z treści zadania wynika, że suma trzech wyrazów, czyli \(a_{1}\), \(a_{4}\) oraz \(a_{25}\) jest równa \(114\), zatem:
$$a_{1}+a_{4}+a_{25}=114$$
$$a_{1}+a_{1}+3r+a_{1}+24r=114$$
$$3a_{1}+27r=114 \quad\bigg/:3$$
$$a_{1}+9r=38$$
$$a_{1}=38-9r$$
Krok 2. Wykorzystanie zależności między trzema kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego.
Z własności ciągów geometrycznych wiemy, że dla trzech kolejnych wyrazów zachodzi następująca zależność:
$${a_{2}}^2=a_{1}\cdot a_{3}$$
W przypadku naszego zadania zapisalibyśmy, że w takim razie:
$$y^2=x^2+z^2$$
$${a_{4}}^2=a_{1}\cdot a_{25}$$
Korzystając z rozpisanych wyrazów z poprzedniego kroku, zapisalibyśmy, że w takim razie:
$$(a_{1}+3r)^2=a_{1}\cdot(a_{1}+24r)$$
$${a_{1}}^2+6a_{1}r+9r^2={a_{1}}^2+24a_{1}r$$
$$6a_{1}r+9r^2=24a_{1}r$$
$$9r^2-18a_{1}r=0$$
$$r^2-2a_{1}r=0$$
Krok 3. Obliczenie różnicy ciągu.
Mamy równanie, w którym są dwie niewiadome, czyli \(a_{1}\) oraz \(r\). Musimy więc doprowadzić całość do postaci z jedną niewiadomą i pomoże nam w tym równanie, które otrzymaliśmy w pierwszym kroku, czyli \(a_{1}=38-9r\). Podstawiając to do otrzymanego przed chwilą równania, otrzymamy:
$$r^2-2\cdot(38-9r)\cdot r=0$$
$$r^2-(76-18r)\cdot r=0$$
$$r^2-(76r-18r^2)=0$$
$$r^2-76r+18r^2=0$$
$$19r^2-76r=0 \quad\bigg/:3$$
$$r^2-4r=0$$
Postało nam równanie kwadratowe w postaci ogólnej, które musimy teraz rozwiązać. Możemy oczywiście zrobić to za pomocą delty, ale jest akurat tutaj równanie jest na tyle proste, że damy radę rozwiązać je nieco szybciej, rozpisując to jako:
$$r(r-4)=0$$
$$r=0 \quad\lor\quad r-4=0$$
$$r=0 \quad\lor\quad r=4$$
Krok 4. Weryfikacja otrzymanych wyników i obliczenie liczby \(x\), \(y\) oraz \(z\).
Otrzymaliśmy dwie różnice i pojawia się teraz pytanie, czy któraś z nich nie musi być przypadkiem odrzucona. Sprawdźmy jak będą wyglądać ciągi dla każdej z otrzymanych różnic.
Gdy \(r=0\), to
\(a_{1}=38-9\cdot0\)
\(a_{1}=38\)
\(a_{4}=38+3\cdot0\)
\(a_{4}=38\)
\(a_{25}=38+24\cdot0\)
\(a_{25}=38\)
Tym samym \(x=38\), \(y=38\) oraz \(z=38\).
Gdy \(r=4\), to:
\(a_{1}=38-9\cdot4\)
\(a_{1}=38-36\)
\(a_{1}=2\)
\(a_{4}=a_{1}+3r\)
\(a_{4}=2+3\cdot4\)
\(a_{4}=2+12\)
\(a_{4}=14\)
\(a_{25}=a_{1}+24r\)
\(a_{25}=2+24\cdot4\)
\(a_{25}=2+96\)
\(a_{25}=98\)
Tym samym \(x=2\), \(y=14\) oraz \(z=98\).
W pierwszym przypadku (dla \(r=0\)) otrzymaliśmy ciągi stałe, a w drugim (dla \(r=4\)) ciągi rosnące. Treść zadania nie precyzuje jakie mają być nasze ciągi, więc musimy przyjąć, że obydwa warianty są jak najbardziej poprawne. Tym samym to zadanie będzie mieć dwie odpowiedzi: \(x=38, y=38, z=38\) oraz \(x=2, y=14, z=98\).