📄 Treść zadania
Dany jest ciąg arytmetyczny \((a_{n})\) określony dla każdej liczby naturalnej \(n\ge1\). Jego różnica jest równa \(4\), a suma jego pierwszych pięciu wyrazów jest trzy razy mniejsza od sumy następnych pięciu wyrazów. Oblicz pierwszy wyraz tego ciągu.
Z treści zadania wynika, że:
$$3\cdot(a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}+a_{5})=a_{6}+a_{7}+a_{8}+a_{9}+a_{10}$$
Spróbujmy teraz rozpisać poszczególne wyrazy tego ciągu, korzystając ze wzoru na \(n\)-ty wyraz ciągu:
$$a_{2}=a_{1}+r$$
$$a_{3}=a_{1}+2r$$
$$\text{...}$$
$$a_{10}=a_{1}+9r$$
Wiemy, że różnica tego ciągu to \(r=4\), zatem moglibyśmy zapisać, że:
$$a_{2}=a_{1}+4$$
$$a_{3}=a_{1}+8$$
$$\text{...}$$
$$a_{10}=a_{1}+36$$
Podstawiając teraz te rozpisane wyrazy, otrzymamy:
$$3\cdot(a_{1}+a_{1}+4+a_{1}+8+a_{1}+12+a_{1}+16)=a_{1}+20+a_{1}+24+a_{1}+28+a_{1}+32+a_{1}+36$$
$$3\cdot(5a_{1}+40)=5a_{1}+140$$
$$15a_{1}+120=5a_{1}+140$$
$$10a_{1}=20$$
$$a_{1}=2$$