📄 Treść zadania
Deweloper oferuje możliwość kompletnego wyposażenia kuchni i salonu w ofercie „Malejące raty”. Wysokość pierwszej raty ustalono na \(775zł\). Każda następna rata jest o \(10zł\) mniejsza od poprzedniej. Całkowity koszt wyposażenia kuchni i salonu ustalono na \(30240zł\). Oblicz wysokość ostatniej raty i liczbę wszystkich rat.
Krok 1. Dostrzeżenie cech ciągu arytmetycznego.
Tak naprawdę całą naszą sytuację z treści zadania możemy opisać ciągiem arytmetycznym w którym:
$$a_{1}=775$$
$$r=-10$$
$$S_{n}=30240$$
Naszym zadaniem jest policzenie ilości wyrazów/rat, czyli \(n\) oraz wartości ostatniej raty, czyli \(a_{n}\).
Krok 2. Obliczenie ilości rat.
Korzystając ze wzoru na sumę \(n\)-tych wyrazów ciągu arytmetycznego możemy zapisać, że:
$$S_{n}=\frac{2a_{1}+(n-1)r}{2}\cdot n$$
$$30240=\frac{2\cdot775+(n-1)\cdot(-10)}{2}\cdot n \quad\bigg/\cdot2$$
$$60480=(1550-10n+10)\cdot n$$
$$60480=(-10n+1560)\cdot n$$
$$60480=-10n^2+1560n$$
$$-10n^2+1560n-60480=0 \quad\bigg/:(-10)$$
$$n^2-156n+6048=0$$
Krok 3. Rozwiązanie powstałego równania kwadratowego.
Powstało nam równanie kwadratowe, które obliczymy korzystając oczywiście z delty:
Współczynniki: \(a=1,\;b=-156,\;c=6048\)
$$Δ=b^2-4ac=(-156)^2-4\cdot1\cdot6048=24336-24192=144$$
$$\sqrt{Δ}=\sqrt{144}=12$$
$$n_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-156)-12}{2\cdot1}=\frac{156-12}{2}=\frac{144}{2}=72$$
$$n_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-156)+12}{2\cdot1}=\frac{156+12}{2}=\frac{168}{2}=84$$
To oznacza, że ilość rat wynosi \(72\) lub \(84\) i póki co żadnej z tych odpowiedzi nie możemy odrzucić.
Krok 4. Obliczenie wysokości ostatniej raty.
Zgodnie z treścią zadania chcemy obliczyć wysokość ostatniej raty. Musimy rozpatrzeć dwie sytuacje - kiedy były \(72\) raty oraz kiedy były \(84\) raty. Do wyznaczenia wysokości ostatnich rat skorzystamy ze wzoru ogólnego ciągu arytmetycznego:
$$a_{n}=a_{1}+(n-1)r$$
Dla \(n=72\):
$$a_{72}=775+(72-1)\cdot(-10)$$
$$a_{72}=775+71\cdot(-10)$$
$$a_{72}=775+(-710)$$
$$a_{72}=65$$
Dla \(n=84\):
$$a_{84}=775+(84-1)\cdot(-10)$$
$$a_{84}=775+83\cdot(-10)$$
$$a_{84}=775+(-830)$$
$$a_{84}=-55$$
Krok 5. Analiza otrzymanych wyników i zapisanie ostatecznego rozwiązania.
Sytuacja w której rata jest ujemna jest sprzeczna z istotą zadania. W związku z tym musimy odrzucić to rozwiązanie, czyli musimy też odrzucić wariant, że rat mogło być \(84\). To oznacza, że całe zadanie ma tylko jedno poprawne rozwiązanie: rat było \(72\), a ostatnia rata była równa \(65zł\).