📄 Treść zadania
Rozwiąż układ równań
\begin{cases} x^2+y^2-4x+4y-17=0 \\ 2x-y-1=0 \end{cases}
Krok 1. Rozwiązanie układu równań.
Tym razem mamy układ równań, w którym jedno z równań jest równaniem kwadratowym. To generalnie nie zmienia istoty sprawy i rozwiązujemy ten układ w standardowy sposób. W tym przypadku, najprościej byłoby skorzystać z metody podstawiania, przekształcając odpowiednio drugie równanie, zatem:
\begin{cases} x^2+y^2-4x+4y-17=0 \\ y=2x-1 \end{cases}
Podstawiając teraz drugie równanie do pierwszego, otrzymamy:
$$x^2+(2x-1)^2-4x+4\cdot(2x-1)-17=0$$
$$x^2+4x^2-4x+1-4x+8x-4-17=0$$
$$5x^2-20=0 \quad\bigg/:5$$
$$x^2-4=0$$
Krok 2. Rozwiązanie powstałego równania kwadratowego i zakończenie rozwiązywania układu równań.
Otrzymaliśmy równanie kwadratowe, które musimy teraz rozwiązać. To równanie jest na tyle proste, że damy radę obliczyć je bez wyznaczania delty, zatem:
$$x^2=4$$
$$x=2 \quad\lor\quad x=-2$$
Jak to standardowo bywa w równaniach kwadratowych, otrzymaliśmy dwa rozwiązania i obydwa te rozwiązania są jak najbardziej poprawne. Teraz musimy wyznaczyć wartość \(y\), korzystając np. z równania \(y=2x-1\). Z racji tego, iż mamy dwie różne wartości \(x\), to musimy sprawdzić jaki wynik osiągniemy gdy podstawimy \(x=2\) i jaki, gdy podstawimy \(x=-2\), zatem:
Gdy \(x=2\), to:
$$y=2\cdot2-1$$
$$y=4-1$$
$$y=3$$
Gdy \(x=-2\), to:
$$y=2\cdot(-2)-1$$
$$y=-4-1$$
$$y=-5$$
To oznacza, że rozwiązaniem tego układu równań są dwie pary liczb: \(\begin{cases}x=2 \\ y=3\end{cases}\) oraz \(\begin{cases}x=-2 \\ y=-5\end{cases}\)