📄 Treść zadania
Wszystkie wyrazy nieskończonego ciągu geometrycznego \((a_{n})\), określonego dla każdej liczby naturalnej \(n\ge1\), są dodatnie i \(9a_{5}=4a_{3}\). Wtedy iloraz tego ciągu jest równy:
A
\(\frac{2}{3}\)
B
\(\frac{3}{2}\)
C
\(\frac{2}{9}\)
D
\(\frac{9}{2}\)
Skoro \(9a_{5}=4a_{3}\), to dzieląc obie strony tego równania przez \(9\) otrzymamy informację, że \(a_{5}=\frac{4}{9}a_{3}\).
Z własności ciągów geometrycznych wynika, że:
$$a_{5}=a_{3}\cdot q^2$$
Podstawiając do tego równania \(a_{5}=\frac{4}{9}a_{3}\), otrzymamy:
$$\frac{4}{9}a_{3}=a_{3}\cdot q^2 \quad\bigg/:a_{3}$$
$$\frac{4}{9}=q^2$$
$$q=\frac{2}{3} \quad\lor\quad q=-\frac{2}{3}$$
Teoretycznie obydwa rozwiązania są poprawne, ale jedno z nich musimy odrzucić. Z treści zadania wynika, że ciąg ma wszystkie wyrazy dodatnie, a skoro tak, to odrzucić musimy \(q=-\frac{2}{3}\). To oznacza, że iloraz tego ciągu jest równy \(q=\frac{2}{3}\)