Zadanie 4 Matura – Matematyka (Poziom podstawowy) 2005 – arkusz z rozwiązaniami

Oznaczmy przez \(x\) liczbę płyt na półce górnej, a przez \(z\) — na dolnej. Ciąg \((x,\ 24,\ z)\) jest geometryczny i rosnący.

Warunek geometryczności: \(24^2=xz\), czyli \(xz=576\).

Warunek sumy: \(x+24+z=76\), czyli \(x+z=52\).

Liczby \(x\) i \(z\) są więc pierwiastkami równania

\(t^2-52t+576=0\).

\(\Delta=2704-2304=400\), \(\sqrt{\Delta}=20\), skąd \(t=\dfrac{52-20}{2}=16\) lub \(t=\dfrac{52+20}{2}=36\).

Ponieważ ciąg jest rosnący, mamy \(x=16\) i \(z=36\).

Odpowiedź: na półce górnej stoi 16 płyt, a na dolnej 36 płyt (iloraz ciągu wynosi \(1{,}5\)).