📄 Treść zadania
Jeżeli do licznika i do mianownika nieskracalnego dodatniego ułamka dodamy połowę jego licznika, to otrzymamy \(\frac{4}{7}\), a jeżeli do licznika i do mianownika dodamy \(1\), to otrzymamy \(\frac{1}{2}\). Wyznacz ten ułamek.
Krok 1. Stworzenie układu równań.
Oznaczmy sobie nasz poszukiwany ułamek jako \(\frac{x}{y}\). Na podstawie treści zadania możemy ułożyć następujący układ równań:
\begin{cases} \frac{x+\frac{1}{2}x}{y+\frac{1}{2}x}=\frac{4}{7} \\ \frac{x+1}{y+1}=\frac{1}{2} \end{cases}
Krok 2. Rozwiązanie powstałego układu równań.
Układ możemy próbować rozwiązać na wiele sposobów, ale chyba najprościej będzie zacząć od mnożenia na krzyż w pierwszym i drugim równaniu.
\begin{cases} 7\cdot(x+\frac{1}{2}x)=4\cdot(y+\frac{1}{2}x) \\ 2\cdot(x+1)=1\cdot(y+1) \end{cases}\begin{cases} 7x+\frac{7}{2}x=4y+2x \quad\bigg/\cdot2 \\ 2x+2=y+1 \end{cases}\begin{cases} 14x+7x=8y+4x \\ 2x+1=y \quad\bigg/\cdot(-8) \end{cases}\begin{cases} 17x=8y \\ -16x-8=-8y \end{cases}
Dzięki sprytnemu pomnożeniu obu stron przez \(-8\) możemy teraz dodać do siebie obie strony równania i pozbyć się w ten sposób niewiadomej \(y\). Oczywiście można też byłoby zastosować tutaj metodę podstawiania i podstawić \(y=2x+1\) z drugiego równania do równania pierwszego. Finalnie uzyskamy ten sam efekt:
$$x-8=0$$
$$x=8$$
Krok 3. Obliczenie wartości mianownika poszukiwanego ułamka.
Znamy już wartość licznika (\(x=8\)), więc podstawmy go pod dowolnie wybrane równanie z układu równań i obliczmy w ten sposób niewiadomą \(y\):
$$17x=8y$$
$$17\cdot8=8y$$
$$y=17$$
To oznacza, że poszukiwanym ułamkiem jest \(\frac{8}{17}\).