📄 Treść zadania
Jeżeli \(α\) jest kątem ostrym oraz \(tgα=\frac{2}{5}\), to wartość wyrażenia \(\frac{3cosα-2sinα}{sinα-5cosα}\) jest równa:
A
\(-\frac{11}{23}\)
B
\(\frac{24}{5}\)
C
\(-\frac{23}{11}\)
D
\(\frac{5}{24}\)
Zadanie można rozwiązać na kilka sposobów, ale najprościej jest chyba podzielić sobie zarówno licznik jak i mianownik przez \(cosα\). Co nam to da? Dzięki temu otrzymamy w kilku miejscach \(\frac{sinα}{cosα}\), co z definicji tangensa jest równe \(tgα\) (wartość tangensa jest podana w treści zadania). W pozostałych miejscach dzięki temu zabiegowi skróci nam się wartość \(cosα\), co pozwoli nam szybko wyznaczyć pożądaną wartość. Zatem:
$$\frac{3cosα-2sinα}{sinα-5cosα}=\frac{\frac{3cosα}{cosα}-\frac{2sinα}{cosα}}{\frac{sinα}{cosα}-\frac{5cosα}{cosα}}=$$
$$=\frac{3-2tgα}{tgα-5}=\frac{3-2\cdot\frac{2}{5}}{\frac{2}{5}-5}=\frac{3-\frac{4}{5}}{\frac{2}{5}-5}=$$
$$=\frac{\frac{11}{5}}{-\frac{23}{5}}=\frac{11}{5}\cdot\left(-\frac{5}{23}\right)=-\frac{11}{23}$$