📄 Treść zadania
Kąt \(α\) jest ostry i \(tgα=\frac{12}{5}\). Wówczas \(\sinα\) jest równy:
A
\(\frac{5}{17}\)
B
\(\frac{12}{17}\)
C
\(\frac{5}{13}\)
D
\(\frac{12}{13}\)
Krok 1. Rozpisanie tangensa jako ilorazu sinusa i cosinusa.
Z trygonometrii wiemy, że \(tgα=\frac{sinα}{cosα}\). Korzystając z tej własności możemy zapisać, że:
$$tgα=\frac{12}{5}$$
$$\frac{sinα}{cosα}=\frac{12}{5}$$
Mnożąc to na krzyż otrzymamy:
$$5sinα=12cosα$$
Krok 2. Obliczenie wartości cosinusa.
Z jedynki trygonometrycznej wynika, że \(sin^2α+cos^2α=1\). W poprzednim kroku udało nam się zapisać, że \(5sinα=12cosα\), czyli że \(cosα=\frac{5}{12}sinα\). W związku z tym:
$$sin^2α+\left(\frac{5}{12}sinα\right)^2+=1$$
$$sin^2α+\frac{25}{144}sin^2α=1$$
$$\frac{169}{144}sin^2α=1 \quad\bigg/\cdot\frac{144}{169}$$
$$sin^2α=\frac{144}{169}$$
$$sinα=\frac{12}{13} \quad\lor\quad sinα=-\frac{12}{13}$$
Ujemne rozwiązanie odrzucamy, bo kąt \(α\) jest ostry, a dla kątów ostrych sinus przyjmuje wartości dodatnie, zatem zostaje nam \(sinα=\frac{12}{13}\).