Zadanie 16 Matura próbna z matematyki (poziom podstawowy) - Nowa Era 2016 — zadania z rozwiązaniami

Krok 1. Wyznaczenie punktu przez które przechodzi lewe ramię kąta.
Z tablic matematycznych możemy odczytać, że jeżeli mamy taką sytuację jak na powyższym rysunku, czyli kiedy jedno ramię kąta pokrywa się z osią iksów, wierzchołek kąta znajduje się w miejscu przecięcia się osi układu współrzędnych, a drugie ramię przechodzi przez punkt \(M=(x;y)\), to:
$$cosα=\frac{x}{r}$$

gdzie \(r\) to odległość od punktu \(M\) do początku układu współrzędnych, którą możemy policzyć ze wzoru \(r=\sqrt{x^2+y^2}\).

Wyznaczmy zatem najpierw współrzędne jakiegoś punktu, który znajduje się na lewym ramieniu naszego kąta. Skoro lewe ramię możemy opisać równaniem \(y=-2x\), to podstawiając np. \(x=-1\) otrzymamy:
$$y=-2\cdot(-1)$$ $$y=2$$

To oznacza, że nasze ramię przechodzi przez punkt \(M=(-1;2)\). Tak na marginesie, to w przypadku takiego zadania zamkniętego moglibyśmy ten punkt odczytać wprost z rysunku.

Krok 2. Obliczenie długości \(r\).
W naszym przypadku ramię przechodzi przez punkt \(M=(-1;2)\), czyli \(x=-1\) oraz \(y=2\). Korzystając z podanego powyżej wzoru możemy zapisać, że:
$$r=\sqrt{x^2+y^2}$$ $$r=\sqrt{(-1)^2+2^2}$$ $$r=\sqrt{1+4}$$ $$r=\sqrt{5}$$

Krok 3. Obliczenie wartości cosinusa.
Mamy już wszystkie potrzebne dane, zatem możemy zapisać, że:
$$cosα=\frac{x}{r}$$ $$cosα=\frac{-1}{\sqrt{5}}$$ $$cosα=\frac{-1\cdot\sqrt{5}}{\sqrt{5}\cdot\sqrt{5}}$$ $$cosα=\frac{-\sqrt{5}}{5}=-\frac{\sqrt{5}}{5}$$