📄 Treść zadania
Kąt \(α\) jest kątem ostrym takim, że \(sin^2α-cos^2α=\frac{1}{2}\). Zatem:
A
\(0°\lt α \lt20°\)
B
\(21°\lt α \lt50°\)
C
\(51°\lt α \lt70°\)
D
\(71°\lt α \lt90°\)
Krok 1. Obliczenie wartości \(cosα\).
Z jedynki trygonometrycznej wiemy, że \(sin^2α+cos^2α=1\), czyli że \(sin^2α=1-cos^2α\). Podstawiając to do naszego równania otrzymamy:
$$sin^2α-cos^2α=\frac{1}{2}$$
$$1-cos^2α-cos^2α=\frac{1}{2}$$
$$-2cos^2α=-\frac{1}{2} \quad\bigg/\cdot-\frac{1}{2}$$
$$cos^2α=\frac{1}{4}$$
$$cosα=\frac{1}{2} \quad\lor\quad cosα=-\frac{1}{2}$$
Wartość ujemną odrzucamy, bo z treści zadania wynika że \(α\) jest kątem ostrym, a dla kątów ostrych cosinus przyjmuje wartości dodatnie.
Krok 2. Odczytanie z tablic miary kąta.
Musimy jeszcze ustalić jaka jest miara kąta \(α\). Z tablic trygonometrycznych możemy odczytać, że cosinus przyjmuje wartość \(\frac{1}{2}\) dla kąta \(60°\), zatem kąt \(α\) mieści się w przedziale \(51°\lt α \lt70°\).