📄 Treść zadania
Wyznacz równanie symetralnej odcinka o końcach \(A=(-2,2)\) i \(B=(2,10)\).
Krok 1. Wyznaczenie wzoru prostej przechodzącej przez punkty \(A\) i \(B\).
Aby wyznaczyć prostą w postaci \(y=ax+b\) przechodzącą przez dwa punkty wystarczy stworzyć prosty układ równań, w którym podstawimy po kolei współrzędne obydwu punktów. I tak oto otrzymujemy:
\begin{cases} 2=-2a+b \\ 10=2a+b \end{cases}
Układ możemy rozwiązać dowolną metodą, najprościej jest go chyba jednak odjąć od siebie stronami, dzięki czemu otrzymamy:
$$-8=-4a$$
$$a=2$$
Znając współczynnik \(a\) możemy jeszcze wyliczyć współczynnik \(b\) z dowolnego równania. Zatem:
$$2=-2\cdot2+b$$
$$2=-4+b$$
$$b=6$$
Wiemy już, że nasza prosta przechodząca przez punkty \(A\) i \(B\) opisana jest wzorem w postaci: \(y=2x+6\).
Krok 2. Wyznaczenie środka odcinka \(AB\).
Symetralna odcinka dzieli dany odcinek na dwie równe części. Jeśli poznamy dokładne współrzędne tego punktu przecięcia się symetralnej z odcinkiem, to będziemy już bardzo blisko rozwiązania. Współrzędne środka odcinka \(AB\) obliczmy w następujący sposób:
$$S=\left(\frac{x_{A}+x_{B}}{2};\frac{y_{A}+y_{B}}{2}\right)$$
$$S=\left(\frac{-2+2}{2};\frac{2+10}{2}\right)$$
$$S=\left(\frac{0}{2};\frac{12}{2}\right)$$
$$S=(0;6)$$
Krok 3. Wyznaczenie równania symetralnej.
Symetralna musi być prostopadła względem prostej, której równanie wyznaczyliśmy sobie w pierwszym kroku. Aby dwie proste były względem siebie prostopadłe to iloczyn ich współczynników \(a\) musi być równy \(-1\). To oznacza, że skoro równanie prostej przechodzącej przez punkty \(A\) i \(B\) ma współczynnik \(a=2\), to nasza symetralna ma na pewno współczynnik \(a=-\frac{1}{2}\) (bo \(2\cdot-\frac{1}{2}=-1\)). W tym momencie wiemy już, że nasza prosta jest opisana wzorem \(y=-\frac{1}{2}x+b\). Musimy jeszcze wyznaczyć współczynnik \(b\).
W drugim kroku obliczyliśmy, że symetralna przechodzi przez punkt \(S=(0;6)\). Już z samego tego faktu możemy odczytać współczynnik \(b\) tej prostej prostopadłej, bo współczynnik \(b\) mówi nam o tym w którym miejscu prosta przecina oś \(Oy\). Bez liczenia możemy więc stwierdzić, że \(b=6\). Gdybyśmy jednak tego nie dostrzegli (albo gdyby ten punkt miał inne współrzędne), to współczynnik \(b\) możemy wyliczyć podstawiając po prostu współrzędne tego punktu do równania prostej \(y=-\frac{1}{2}x+b\), czyli:
$$6=-\frac{1}{2}\cdot0+b$$
$$6=0+b$$
$$b=6$$
Nasza symetralna jest więc opisana wzorem \(y=-\frac{1}{2}x+6\).