📄 Treść zadania
Liczba \(log_{\sqrt{2}}4^8\) jest równa:
A
\(2\)
B
\(4\)
C
\(32\)
D
\(16\)
Logarytm możemy rozwiązać na różne sposoby, ale najprościej będzie tutaj zastosować po prostu definicję logarytmu, czyli:
$$log_{\sqrt{2}}4^8=x \quad\Leftrightarrow\quad \sqrt{2}^x=4^8$$
Aby rozwiązać równanie \(\sqrt{2}^x=4^8\) musimy doprowadzić lewą i prawą stronę do jednakowej podstawy potęgi. W naszym przypadku najprościej będzie sprowadzić obydwie liczby do dwójki, pamiętając o tym, że \(\sqrt{2}=2^{\frac{1}{2}}\) i że \(4=2^2\). W związku z tym:
$$(\sqrt{2})^x=4^8$$
$${2^{\frac{1}{2}}}^x={2^2}^8$$
$$2^{\frac{1}{2}x}=2^{16}$$
Doprowadziliśmy do jednakowych podstaw potęg, zatem możemy porównać wykładniki:
$$\frac{1}{2}x=16$$
$$x=32$$
To oznacza, że rozwiązaniem tego logarytmu jest właśnie liczba \(32\).