📄 Treść zadania
Układ równań \(\begin{cases} 2x-y=2 \\ x+my=1 \end{cases}\) ma nieskończenie wiele rozwiązań dla:
A
\(m=-1\)
B
\(m=1\)
C
\(m=\frac{1}{2}\)
D
\(m=-\frac{1}{2}\)
Krok 1. Doprowadzenie równań do jednakowej postaci.
Mnożąc drugie równanie przez \(2\) otrzymamy:
\begin{cases} 2x-y=2 \\ x+my=1 \quad\bigg/\cdot2 \end{cases}
\begin{cases} 2x-y=2 \\ 2x+2my=2 \end{cases}
Krok 2. Ustalenie dla jakiego parametru \(m\) równania mają nieskończenie wiele rozwiązań.
Aby nasz układ równań miał nieskończenie wiele rozwiązań, to pierwsze i drugie równanie muszą być identyczne. Porównując do siebie te dwa równania widzimy, że aby tak się stało to liczby stojące przy igreku muszą być sobie równe. W pierwszym równaniu przed igrekiem mamy jedynie minus, czyli mamy tak jakby \(-1y\). W drugim równaniu mamy wartość \(2my\). Skoro wartości przed igrekami muszą być równe, to:
$$-1=2m$$
$$m=-\frac{1}{2}$$