📄 Treść zadania
Ile jest wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych podzielnych przez \(6\) i niepodzielnych przez \(9\)?
A
\(6\)
B
\(10\)
C
\(12\)
D
\(15\)
Zadanie można rozwiązać na dwa sposoby.
I sposób - wypisując sobie poszczególne liczby.
Moglibyśmy wypisać sobie wszystkie liczby dwucyfrowe podzielne przez \(6\) i zostawić na niej tylko te niepodzielne przez \(9\). Tych liczb nie będzie tak wiele, więc jesteśmy w stanie zrobić to ręcznie:
$$\require{cancel}
12,\cancel{18},24,30,\cancel{36},42,48$$
$$\cancel{54},60,66,\cancel{72},78,84,\cancel{90},96$$
Zostało nam \(10\) liczb i taka jest też nasza odpowiedź.
II sposób - korzystając z własności ciągów arytmetycznych.
Krok 1. Obliczenie ilości liczb dwucyfrowych podzielnych przez \(6\).
Gdyby to zadanie obejmowało jeszcze liczby trzycyfrowe, to dobrze byłoby wykonać to wszystko nieco bardziej matematycznie, bo wypisywanie ręczne byłoby bardzo czasochłonne. W takiej sytuacji z pomocą przyjdzie nam ciąg arytmetyczny, którego \(a_{1}=12\) oraz \(r=6\). Dobrze byłoby też wyznaczyć sobie największą liczbę dwucyfrową podzielną przez \(6\), a jest nią \(96\), zatem \(a_{n}=96\). Teraz w prosty sposób możemy obliczyć ile wyrazów zawiera ten ciąg arytmetyczny:
$$a_{1}+(n-1)r=a_{n}$$
$$12+(n-1)\cdot6=96$$
$$(n-1)\cdot6=84$$
$$n-1=14$$
$$n=15$$
To oznacza, że mamy \(15\) liczb podzielnych przez \(6\).
Krok 2. Obliczenie ile z tych liczb jest niepodzielnych przez \(9\).
Najmniejszą wspólną wielokrotnością (NWW) liczb \(6\) i \(9\) jest \(18\). To oznacza, że każda liczba podzielna przez \(18\) będzie podzielna i przez \(6\) i przez \(9\). Liczb dwucyfrowych podzielnych przez \(18\) jest pieć: \(18,36,54,72,90\).
Skoro nas interesują te niepodzielne przez \(9\), więc ze zbioru \(n=15\) musimy odrzucić te pięć liczb, które obliczyliśmy sobie przed chwilą i zostaje nam \(10\) dwucyfrowych liczb, które są podzielne przez \(6\) i niepodzielne przez \(9\).